Дано:
- Окружность, на которой независимо друг от друга выбираются три случайные точки.
Найти:
Вероятность того, что эти три точки образуют остроугольный треугольник.
Решение:
1. Точки A, B и C на окружности могут образовать треугольник ABC. Треугольник будет остроугольным, если все его углы меньше 90 градусов.
2. Углы между точками, образующими треугольник, определяются дугами, которые находятся между ними на окружности. Для трех точек A, B и C рассматриваем три дуги: AB, BC и AC.
3. Чтобы треугольник был остроугольным, ни одна из дуг не должна превышать 180 градусов. То есть ни одна дуга не должна быть "доминирующей", чтобы угол, соответствующий ней, не был тупым или равен 90 градусам.
4. Рассмотрим одну из точек как фиксированную (например, точку A). Остальные две точки B и C могут располагаться в пределах оставшейся дуги.
5. Если первая точка фиксирована, то для того чтобы обе другие точки образовали остроугольный треугольник, они должны находиться в одной полудуге, которая не включает фиксированную точку. Полудуга составляет 180 градусов.
6. Найдем вероятность того, что три точки окажутся в одной полудуге. Для этого нужно учесть, что для каждой пары точек (B и C) существует возможность быть расположенными в одной половине окружности.
7. Вероятность выбора двух точек из трех на одной полудуге можно оценить следующим образом:
- Всего способов выбрать 2 точки из 3: C(3,2) = 3.
- Два выбранных пункта могут оказаться в одной полудуге (например, один из сегментов окружности), что возможно при условии, что третья точка не попадает в эту же полудугу.
8. Таким образом, вероятностное пространство состоит из всех возможных выборов 3 точек, где каждая может быть любой из 3 возможных, но в рамках одной полудуги (это условие).
9. Известно, что если три случайные точки располагаются на окружности, вероятность того, что они образуют остроугольный треугольник, равна 1/4.
Ответ:
Вероятность того, что три случайно выбранные точки являются вершинами остроугольного треугольника, равна 1/4.