Дано:
- Случайная величина S равна количеству выпавших решек.
- Вероятность выпадения решки p = 0,5 (для честной монеты).
Найти:
а) Распределение случайной величины S при 7 бросках;
б) Распределение случайной величины S при 8 бросках.
Решение:
Распределение случайной величины S описывается биномиальным распределением. Вероятность того, что из n бросков монеты k раз выпадет решка, вычисляется по формуле:
P(S = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k),
где C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!) — биномиальный коэффициент.
а) Для 7 бросков (n = 7):
Значения k могут принимать целые значения от 0 до 7. Рассчитаем P(S = k) для k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
1. P(S = 0):
C(7, 0) = 1,
P(S = 0) = 1 * (0,5)^0 * (0,5)^7 = 1 * 1 * (0,5)^7 = 1/128.
2. P(S = 1):
C(7, 1) = 7,
P(S = 1) = 7 * (0,5)^1 * (0,5)^6 = 7 * (0,5)^7 = 7/128.
3. P(S = 2):
C(7, 2) = 21,
P(S = 2) = 21 * (0,5)^2 * (0,5)^5 = 21 * (0,5)^7 = 21/128.
4. P(S = 3):
C(7, 3) = 35,
P(S = 3) = 35 * (0,5)^3 * (0,5)^4 = 35 * (0,5)^7 = 35/128.
5. P(S = 4):
C(7, 4) = 35,
P(S = 4) = 35 * (0,5)^4 * (0,5)^3 = 35 * (0,5)^7 = 35/128.
6. P(S = 5):
C(7, 5) = 21,
P(S = 5) = 21 * (0,5)^5 * (0,5)^2 = 21 * (0,5)^7 = 21/128.
7. P(S = 6):
C(7, 6) = 7,
P(S = 6) = 7 * (0,5)^6 * (0,5)^1 = 7 * (0,5)^7 = 7/128.
8. P(S = 7):
C(7, 7) = 1,
P(S = 7) = 1 * (0,5)^7 * (0,5)^0 = 1 * (0,5)^7 = 1/128.
Таким образом, распределение случайной величины S при 7 бросках:
- P(S = 0) = 1/128
- P(S = 1) = 7/128
- P(S = 2) = 21/128
- P(S = 3) = 35/128
- P(S = 4) = 35/128
- P(S = 5) = 21/128
- P(S = 6) = 7/128
- P(S = 7) = 1/128