Дано:
- Случайная величина S равна количеству выпавших шестёрок.
- Вероятность выпадения шестёрки p = 1/6 (для честной игральной кости).
- Вероятность не выпадения шестёрки q = 5/6.
Найти:
а) Распределение случайной величины S при 5 бросках;
б) Распределение случайной величины S при 6 бросках.
Решение:
Распределение случайной величины S описывается биномиальным распределением. Вероятность того, что из n бросков к раз выпадет шестёрка, вычисляется по формуле:
P(S = k) = C(n, k) * p^k * q^(n - k),
где C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!) — биномиальный коэффициент.
а) Для 5 бросков (n = 5):
Значения k могут принимать целые значения от 0 до 5. Рассчитаем P(S = k) для k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
1. P(S = 0):
C(5, 0) = 1,
P(S = 0) = 1 * (1/6)^0 * (5/6)^5 = 1 * 1 * (3125/7776) = 3125/7776.
2. P(S = 1):
C(5, 1) = 5,
P(S = 1) = 5 * (1/6)^1 * (5/6)^4 = 5 * (1/6) * (625/1296) = 3125/7776.
3. P(S = 2):
C(5, 2) = 10,
P(S = 2) = 10 * (1/6)^2 * (5/6)^3 = 10 * (1/36) * (125/216) = 1250/7776.
4. P(S = 3):
C(5, 3) = 10,
P(S = 3) = 10 * (1/6)^3 * (5/6)^2 = 10 * (1/216) * (25/36) = 250/7776.
5. P(S = 4):
C(5, 4) = 5,
P(S = 4) = 5 * (1/6)^4 * (5/6)^1 = 5 * (1/1296) * (5/6) = 25/7776.
6. P(S = 5):
C(5, 5) = 1,
P(S = 5) = 1 * (1/6)^5 * (5/6)^0 = 1 * (1/7776) * 1 = 1/7776.
Таким образом, распределение случайной величины S при 5 бросках:
- P(S = 0) = 3125/7776
- P(S = 1) = 3125/7776
- P(S = 2) = 1250/7776
- P(S = 3) = 250/7776
- P(S = 4) = 25/7776
- P(S = 5) = 1/7776