Дано:
- Игральная кость бросается до тех пор, пока не выпадет шестёрка.
- Вероятность выпадения шестёрки на каждом броске равна p = 1/6.
- Вероятность не выпадения шестёрки на каждом броске равна q = 5/6.
Найти:
Вероятность события (X < k), где X - количество сделанных бросков до получения первой шестёрки.
Решение:
Событие (X < k) означает, что шестёрка выпала на первом, втором, ..., (k-1)-м броске. Это значит, что на первых (k-1) бросках не должно быть шестёрки, а на k-м броске она должна выпасть.
Вероятность того, что шестёрка выпадает на m-м броске выражается формулой:
P(X = m) = q^(m-1) * p.
Следовательно, для события (X < k), вероятность будет складывать вероятности для всех возможных значений X от 1 до k-1:
P(X < k) = P(X = 1) + P(X = 2) + ... + P(X = k-1).
Тогда:
P(X < k) = p + q * p + q^2 * p + ... + q^(k-2) * p.
Эта сумма является геометрической прогрессией с первым членом p и общим множителем q.
Сумма первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r),
где a - первый член, r - общий множитель, n - количество членов.
В нашем случае:
a = p,
r = q,
n = k-1.
Подставим значения в формулу:
P(X < k) = p * (1 - q^(k-1)) / (1 - q).
Теперь подставим значения p и q:
P(X < k) = (1/6) * (1 - (5/6)^(k-1)) / (1 - 5/6).
Упрощаем:
P(X < k) = (1/6) * (1 - (5/6)^(k-1)) / (1/6).
Таким образом, сокращаем:
P(X < k) = 1 - (5/6)^(k-1).
Ответ:
P(X < k) = 1 - (5/6)^(k-1).