Дано:
Игральная кость имеет 6 граней с числами от 1 до 6.
Для каждого броска вероятность выпадения каждой грани равна 1/6.
Найти: дисперсию и стандартное отклонение для новых случайных величин.
Решение:
а) Рассмотрим случайную величину X1, представляющую число очков, выпавшее при втором броске.
Случайная величина X1 может принимать значения 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Сначала найдем математическое ожидание E(X1):
E(X1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 21 / 6 = 3,5.
Теперь найдем дисперсию DX1:
DX1 = E(X1^2) - (E(X1))^2.
Сначала находим E(X1^2):
E(X1^2) = (1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2) / 6 = (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) / 6 = 91 / 6 ≈ 15,17.
Теперь подставляем в формулу для дисперсии:
DX1 = E(X1^2) - (E(X1))^2 = (91 / 6) - (3,5)^2 = (91 / 6) - (12,25) = (91 / 6) - (73,5 / 6) = 17,5 / 6 ≈ 2,92.
Стандартное отклонение σ(X1) = √DX1 ≈ √(2,92) ≈ 1,71.
Ответ для случая а):
Дисперсия числа очков, выпавшего при втором броске, составляет примерно 2,92, стандартное отклонение — примерно 1,71.
б) Рассмотрим случайную величину X2, представляющую сумму выпавших очков при двух бросках.
Сначала найдем математическое ожидание E(X2):
E(X2) = E(X1) + E(X2) = 3,5 + 3,5 = 7.
Теперь найдем дисперсию DX2:
Поскольку броски независимы, дисперсия суммы вычисляется так:
DX2 = DX1 + DX1 = 2 * DX1 = 2 * (17,5 / 6) = 35 / 6 ≈ 5,83.
Стандартное отклонение σ(X2) = √DX2 ≈ √(5,83) ≈ 2,41.
Ответ для случая б):
Дисперсия суммы выпавших очков составляет примерно 5,83, стандартное отклонение — примерно 2,41.