Дано:
Количество лампочек: n = 50.
Из них одна перегоревшая.
Найти: математическое ожидание числа проверок, необходимых для нахождения перегоревшей лампочки.
Решение:
Каждая лампочка имеет равные шансы быть перегоревшей и вероятность нахождения перегоревшей лампочки при k-й проверке выражается как:
P(k) = 1/n = 1/50.
Если Сергей Владимирович не нашёл перегоревшую лампочку с первой проверки, то он продолжает проверять оставшиеся лампочки.
Вероятность того, что перегоревшая лампочка будет найдена именно на k-й проверке составляет:
P(k) = (k-1)/n * (1/n), где k = 1, 2, ..., 50.
Тогда математическое ожидание E(X) можно выразить следующим образом:
E(X) = Σ (k * P(k)), где сумма берется от k=1 до n.
Подставим известные значения в формулу:
E(X) = 1*(1/50) + 2*(1/50) + 3*(1/50) + ... + 50*(1/50).
Эта формула представляет собой сумму первых n натуральных чисел умноженную на 1/50:
E(X) = (1 + 2 + 3 + ... + 50) / 50.
Сумма первых n натуральных чисел вычисляется по формуле:
(1 + 2 + ... + n) = n(n + 1) / 2.
Подставим n = 50:
(1 + 2 + ... + 50) = 50 * (50 + 1) / 2 = 50 * 51 / 2 = 1275.
Теперь подставим это значение обратно в уравнение для E(X):
E(X) = 1275 / 50 = 25,5.
Ответ:
Математическое ожидание числа проверок, которые потребуется сделать Сергею Владимировичу, чтобы найти перегоревшую лампочку, составляет 25,5.