дано:
Стрелок стреляет по трём одинаковым мишеням с вероятностью попадания p. Он продолжает стрелять до тех пор, пока не собьёт все три мишени.
найти:
1. Математическое ожидание числа выстрелов.
2. Дисперсию числа выстрелов.
решение:
Обозначим случайную величину N как количество выстрелов, необходимых для того, чтобы сбить все три мишени.
N можно представить как сумму количества выстрелов, необходимых для того, чтобы сбить первую, вторую и третью мишени.
Сначала найдем математическое ожидание E(N).
Обозначим:
- X1 - число выстрелов для сбивания первой мишени.
- X2 - число выстрелов для сбивания второй мишени.
- X3 - число выстрелов для сбивания третьей мишени.
Тогда N = X1 + X2 + X3.
Сначала найдем E(X1), E(X2) и E(X3):
E(X1) — это просто ожидаемое число выстрелов для того, чтобы сбить первую мишень. Это геометрическая случайная величина с параметром p.
E(X1) = 1/p.
После того как первая мишень сбита, остаются две мишени. Вероятность попадания в любую из оставшихся двух мишеней также равна p, и поэтому E(X2) будет равно:
E(X2) = 1/p (для второй мишени, так как вероятность осталась та же).
Теперь, когда у нас уже две мишени сбиты, мы должны попасть в третью. Но в этом случае нам нужно учитывать, что мы стреляем уже только в одну мишень. Таким образом, E(X3) будет равно 1/p:
E(X3) = 1/p.
Теперь можем найти E(N):
E(N) = E(X1) + E(X2) + E(X3) = 1/p + 1/p + 1/p = 3/p.
Теперь найдем дисперсию Var(N).
Дисперсия каждой из Xi равна:
Var(Xi) = (1-p)/p^2 (для каждого i)
Таким образом, дисперсия для всей суммы:
Var(N) = Var(X1) + Var(X2) + Var(X3) = Var(X1) + Var(X2) + Var(X3) = (1-p)/p^2 + (1-p)/p^2 + (1-p)/p^2 = 3(1-p)/p^2.
Ответ:
1. Математическое ожидание числа выстрелов равно 3/p.
2. Дисперсия числа выстрелов равна 3(1-p)/p^2.