Дано:
Вероятность попадания p = 0,6.
Вероятность промаха q = 1 - p = 0,4.
Найти: вероятность события:
а) от 3 до 5 выстрелов;
б) не более 6 выстрелов.
Решение:
Стрелок продолжает стрелять до первого попадания, поэтому мы можем использовать геометрическое распределение для нахождения вероятностей.
а) Вероятность того, что потребуется от 3 до 5 выстрелов:
Это означает, что стрелок промахнётся на первых двух выстрелах и попадёт на третьем, четвёртом или пятом выстреле.
P(X = 3) = q^2 * p = (0,4)^2 * 0,6 = 0,16 * 0,6 = 0,096.
P(X = 4) = q^3 * p = (0,4)^3 * 0,6 = 0,064 * 0,6 = 0,0384.
P(X = 5) = q^4 * p = (0,4)^4 * 0,6 = 0,0256 * 0,6 = 0,01536.
Теперь найдем общую вероятность:
P(3 ≤ X ≤ 5) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)
= 0,096 + 0,0384 + 0,01536
= 0,14976.
б) Вероятность того, что потребуется не более 6 выстрелов:
Это означает, что стрелок может попасть в мишень на первом, втором, третьем, четвёртом, пятом или шестом выстреле.
P(X = 1) = p = 0,6.
P(X = 2) = q * p = 0,4 * 0,6 = 0,24.
P(X = 3) = q^2 * p = (0,4)^2 * 0,6 = 0,096 (уже вычислено).
P(X = 4) = q^3 * p = 0,0384 (уже вычислено).
P(X = 5) = q^4 * p = 0,01536 (уже вычислено).
P(X = 6) = q^5 * p = (0,4)^5 * 0,6 = 0,01024 * 0,6 = 0,006144.
Теперь найдем общую вероятность:
P(X ≤ 6) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6)
= 0,6 + 0,24 + 0,096 + 0,0384 + 0,01536 + 0,006144
= 0,995504.
Ответ:
а) Вероятность того, что стрелку потребуется от 3 до 5 выстрелов, равна 0,14976.
б) Вероятность того, что стрелку потребуется не более 6 выстрелов, равна 0,995504.