Question

Билет на электричку стоит 50 р. Если безбилетник («заяц») попадается контролёру, то нарушитель оплачивает и штраф, и стоимость билета. Известно, что контролёр встречается в среднем один раз на 10 поездок. «Заяц» ознакомился с основами теории вероятностей и решил придерживаться стратегии, которая делает математическое ожидание расходов наименее возможным. Как ему поступать: покупать билет каждый раз, не покупать никогда или бросать монету и покупать билет, только если выпала решка?
а)  Решите задачу, если штраф равен 450 р.
б)  Решите задачу, если штраф равен 480 р.

Answer 1

дано:

Цена билета B = 50 р.

Штраф за безбилетный проезд S1 = 450 р. (для пункта а).

Штраф за безбилетный проезд S2 = 480 р. (для пункта б).

Вероятность встречи контролёра p = 1/10 = 0.1.

Вероятность не встретить контролёра q = 1 - p = 0.9.

найти:

Математическое ожидание расходов для трех стратегий:
1) Покупать билет каждый раз.
2) Никогда не покупать билет.
3) Бросать монету и покупать билет только при выпадении решки.

решение:

1. Рассмотрим стратегию "покупать билет каждый раз":
   Расходы = 50 р. (всегда покупает билет).
   Математическое ожидание расходов E1 = 50 р.

2. Рассмотрим стратегию "никогда не покупать билет":
   Если контролёр встречается, расходы составят: B + S = 50 + S.
   Математическое ожидание расходов E2 = q * 0 + p * (B + S) = 0.9 * 0 + 0.1 * (50 + S).

   Для штрафа S1 = 450 р.:
   E2(1) = 0.1 * (50 + 450) = 0.1 * 500 = 50 р.

   Для штрафа S2 = 480 р.:
   E2(2) = 0.1 * (50 + 480) = 0.1 * 530 = 53 р.

3. Рассмотрим стратегию "бросать монету и покупать билет только при выпадении решки":
   Вероятность покупки билета = 0.5.
   Если купил билет, расходы = 50 р.
   Если не купил и контролёр встретился, расходы = S.

   Математическое ожидание расходов E3 = 0.5 * 50 + 0.5 * (q * 0 + p * (B + S)).
   E3 = 0.5 * 50 + 0.5 * (0.9 * 0 + 0.1 * (50 + S)).

   Для штрафа S1 = 450 р.:
   E3(1) = 0.5 * 50 + 0.5 * (0.1 * (50 + 450)) = 25 + 0.5 * 50 = 25 + 25 = 50 р.

   Для штрафа S2 = 480 р.:
   E3(2) = 0.5 * 50 + 0.5 * (0.1 * (50 + 480)) = 25 + 0.5 * 53 = 25 + 26.5 = 51.5 р.

ответ:
а) При штрафе 450 р. лучшая стратегия — покупать билет каждый раз или бросать монету, так как математическое ожидание расходов составляет 50 р.
б) При штрафе 480 р. лучшая стратегия — покупать билет каждый раз, так как математическое ожидание расходов составляет 53 р., что больше, чем 51.5 р. от бросания монеты.