Question

Малое предприятие выпускает изделия двух типов. Для изготовления изделия первого типа требуется 5 ч работы станка А и 8 ч работы станка Б. Для изготовления изделия второго типа требуется 7 ч работы станка А и 4 ч работы станка Б (станки могут работать в любой последовательности). По техническим причинам станок А может работать не более 150 ч в месяц, а станок Б — не более 132 ч в месяц. Каждое изделие первого типа приносит предприятию 3000 д. е. прибыли, а каждое изделие второго типа — 2000 д. е. прибыли. Найдите наибольшую возможную ежемесячную прибыль предприятия и определите, сколько изделий первого типа и сколько изделий второго типа следует выпускать для получения этой прибыли.

Answer 1

дано:

- Время работы станка А для изделия первого типа = 5 ч
- Время работы станка Б для изделия первого типа = 8 ч
- Время работы станка А для изделия второго типа = 7 ч
- Время работы станка Б для изделия второго типа = 4 ч
- Максимальное время работы станка А в месяц = 150 ч
- Максимальное время работы станка Б в месяц = 132 ч
- Прибыль от изделия первого типа = 3000 д. е.
- Прибыль от изделия второго типа = 2000 д. е.

найти: наибольшую возможную ежемесячную прибыль предприятия и количество изделий каждого типа, которые следует выпускать.

решение:

1. Обозначим:
   x - количество изделий первого типа
   y - количество изделий второго типа

2. Целевая функция (прибыль):
   Z = 3000x + 2000y

3. Ограничения по времени работы станков:
   1) Для станка А: 5x + 7y <= 150
   2) Для станка Б: 8x + 4y <= 132
   3) x >= 0
   4) y >= 0

4. Составим систему неравенств:
   1) 5x + 7y <= 150
   2) 8x + 4y <= 132
   3) x >= 0
   4) y >= 0

5. Найдем границы для x и y из ограничений:
   Из первого ограничения выразим y:
   7y <= 150 - 5x
   y <= (150 - 5x) / 7
   
   Из второго ограничения выразим y:
   4y <= 132 - 8x
   y <= (132 - 8x) / 4 => y <= 33 - 2x

6. Определим точки пересечения ограничений:
   Приравняем два выражения для y:
   (150 - 5x)/7 = 33 - 2x

   Умножим на 7:
   150 - 5x = 231 - 14x
   9x = 81
   x = 9

   Подставим x = 9 в одно из уравнений для y:
   y = (150 - 5*9) / 7
   y = (150 - 45) / 7
   y = 105 / 7
   y = 15

   Точка пересечения: (9, 15)

7. Проверим другие крайние значения:
   1) Если x = 0:
      5*0 + 7y <= 150 => y <= 21.43 (округляем до 21)
      Прибыль: Z = 3000*0 + 2000*21 = 42000 д. е.

   2) Если y = 0:
      5x + 7*0 <= 150 => x <= 30
      Прибыль: Z = 3000*30 + 2000*0 = 90000 д. е.

   3) Проверим точку (9, 15):
      5*9 + 7*15 <= 150 и 8*9 + 4*15 <= 132
      45 + 105 <= 150 (выполняется)
      72 + 60 <= 132 (выполняется)
      Прибыль: Z = 3000*9 + 2000*15 = 27000 + 30000 = 57000 д. е.

8. Сравним прибыли:
   - При x = 0 и y = 21: Z = 42000 д. е.
   - При x = 30 и y = 0: Z = 90000 д. е.
   - При x = 9 и y = 15: Z = 57000 д. е.

Наибольшая прибыль достигается при производстве 30 изделий первого типа и 0 изделий второго типа.

Ответ: максимальная прибыль составляет 90000 д. е., необходимо выпускать 30 изделий первого типа и 0 изделий второго типа.