Question

Малое предприятие выпускает изделия двух типов. Для изготовления изделия первого типа требуется 6 ч работы станка А и 9 ч работы станка Б. Для изготовления изделия второго типа требуется 8 ч работы станка А и 5 ч работы станка Б (станки могут работать в любой последовательности). По техническим причинам станок А может работать не более 198 ч в месяц, а станок Б — не более 150 ч в месяц. Каждое изделие первого типа приносит предприятию 16 000 д. е. прибыли, а каждое изделие второго типа — 12 000 д. е. прибыли.
Найдите наибольшую возможную ежемесячную прибыль предприятия и определите, сколько изделий первого типа и сколько изделий второго типа следует выпускать для получения этой прибыли.

Answer 1

дано:

- Время работы станка А для изделия первого типа = 6 ч
- Время работы станка Б для изделия первого типа = 9 ч
- Время работы станка А для изделия второго типа = 8 ч
- Время работы станка Б для изделия второго типа = 5 ч
- Максимальное время работы станка А в месяц = 198 ч
- Максимальное время работы станка Б в месяц = 150 ч
- Прибыль от изделия первого типа = 16000 д. е.
- Прибыль от изделия второго типа = 12000 д. е.

найти: наибольшую возможную ежемесячную прибыль предприятия и количество изделий каждого типа, которые следует выпускать.

решение:

1. Обозначим:
   x - количество изделий первого типа
   y - количество изделий второго типа

2. Целевая функция (прибыль):
   Z = 16000x + 12000y

3. Ограничения по времени работы станков:
   1) Для станка А: 6x + 8y <= 198
   2) Для станка Б: 9x + 5y <= 150
   3) x >= 0
   4) y >= 0

4. Составим систему неравенств:
   1) 6x + 8y <= 198
   2) 9x + 5y <= 150
   3) x >= 0
   4) y >= 0

5. Найдем границы для x и y из ограничений:
   Из первого ограничения выразим y:
   8y <= 198 - 6x
   y <= (198 - 6x) / 8

   Из второго ограничения выразим y:
   5y <= 150 - 9x
   y <= (150 - 9x) / 5

6. Определим точки пересечения ограничений:
   Приравняем два выражения для y:
   (198 - 6x)/8 = (150 - 9x)/5

   Умножим на 40:
   5(198 - 6x) = 8(150 - 9x)
   990 - 30x = 1200 - 72x
   42x = 210
   x = 5

   Подставим x = 5 в одно из уравнений для y:
   y = (198 - 6*5)/8
   y = (198 - 30)/8
   y = 168/8
   y = 21

   Точка пересечения: (5, 21)

7. Проверим другие крайние значения:
   1) Если x = 0:
      6*0 + 8y <= 198 => y <= 24.75 (округляем до 24)
      Прибыль: Z = 16000*0 + 12000*24 = 288000 д. е.

   2) Если y = 0:
      6x + 8*0 <= 198 => x <= 33
      Прибыль: Z = 16000*33 + 12000*0 = 528000 д. е.

   3) Проверим точку (5, 21):
      6*5 + 8*21 <= 198 и 9*5 + 5*21 <= 150
      30 + 168 <= 198 (выполняется)
      45 + 105 <= 150 (выполняется)
      Прибыль: Z = 16000*5 + 12000*21 = 80000 + 252000 = 332000 д. е.

8. Сравним прибыли:
   - При x = 0 и y = 24: Z = 288000 д. е.
   - При x = 33 и y = 0: Z = 528000 д. е.
   - При x = 5 и y = 21: Z = 332000 д. е.

Наибольшая прибыль достигается при производстве 33 изделий первого типа и 0 изделий второго типа.

Ответ: максимальная прибыль составляет 528000 д. е., необходимо выпускать 33 изделия первого типа и 0 изделий второго типа.