Саша сбежал вниз по движущемуся эскалатору и насчитал 40 ступенек. Затем он пробежал вверх по тому же эскалатору с той же скоростью относительно эскалатора и насчитал 100 ступенек. Сколько ступенек он насчитал бы, спустившись по неподвижному эскалатору?
от

1 Ответ

Дано:  
n1 = 40 ступенек (спуск вниз по движущемуся эскалатору)  
n2 = 100 ступенек (подъем вверх по движущемуся эскалатору)  

Найти:  
n (число ступенек, которые Саша насчитал бы, спустившись по неподвижному эскалатору).  

Решение:  
Обозначим:  
V_саша - скорость Саши относительно эскалатора,  
V_эск - скорость эскалатора,  
L - длина эскалатора (число ступенек на неподвижном эскалаторе).  

Для спуска по движущемуся эскалатору:  
t1 = n1 / (V_саша + V_эск)  
t1 = 40 / (V_саша + V_эск).  

Для подъема по движущемуся эскалатору:  
t2 = n2 / (V_саша - V_эск)  
t2 = 100 / (V_саша - V_эск).  

Поскольку время спуска и подъема одинаковое, приравняем t1 и t2:  
40 / (V_саша + V_эск) = 100 / (V_саша - V_эск).  

Умножим обе стороны на (V_саша + V_эск)(V_саша - V_эск):  
40(V_саша - V_эск) = 100(V_саша + V_эск).  

Раскроем скобки:  
40V_саша - 40V_эск = 100V_саша + 100V_эск.  

Переносим все члены с V_саша в одну сторону и с V_эск в другую:  
40V_саша - 100V_саша = 100V_эск + 40V_эск,  
-60V_саша = 140V_эск,  
V_саша = -14/6 V_эск = -7/3 V_эск.  

Теперь найдем L. Спустившись по неподвижному эскалатору, Саша бы двигался с V_саша:  
L = V_саша * t1 = V_саша * (40 / (V_саша + V_эск)).  

Подставим V_саша:  
L = (-7/3 V_эск) * (40 / ((-7/3 V_эск) + V_эск)).  
Упрощаем выражение:  
L = (-7/3 V_эск) * (40 / ((-7/3 + 3/3)V_эск)).  
L = (-7/3 V_эск) * (40 / (-4/3)V_эск).  
L = (-7/3) * (40 / (-4/3)) = 70.  

Ответ: Саша насчитал бы 70 ступенек, спустившись по неподвижному эскалатору.
от