Дано:
n1 = 40 ступенек (спуск вниз по движущемуся эскалатору)
n2 = 100 ступенек (подъем вверх по движущемуся эскалатору)
Найти:
n (число ступенек, которые Саша насчитал бы, спустившись по неподвижному эскалатору).
Решение:
Обозначим:
V_саша - скорость Саши относительно эскалатора,
V_эск - скорость эскалатора,
L - длина эскалатора (число ступенек на неподвижном эскалаторе).
Для спуска по движущемуся эскалатору:
t1 = n1 / (V_саша + V_эск)
t1 = 40 / (V_саша + V_эск).
Для подъема по движущемуся эскалатору:
t2 = n2 / (V_саша - V_эск)
t2 = 100 / (V_саша - V_эск).
Поскольку время спуска и подъема одинаковое, приравняем t1 и t2:
40 / (V_саша + V_эск) = 100 / (V_саша - V_эск).
Умножим обе стороны на (V_саша + V_эск)(V_саша - V_эск):
40(V_саша - V_эск) = 100(V_саша + V_эск).
Раскроем скобки:
40V_саша - 40V_эск = 100V_саша + 100V_эск.
Переносим все члены с V_саша в одну сторону и с V_эск в другую:
40V_саша - 100V_саша = 100V_эск + 40V_эск,
-60V_саша = 140V_эск,
V_саша = -14/6 V_эск = -7/3 V_эск.
Теперь найдем L. Спустившись по неподвижному эскалатору, Саша бы двигался с V_саша:
L = V_саша * t1 = V_саша * (40 / (V_саша + V_эск)).
Подставим V_саша:
L = (-7/3 V_эск) * (40 / ((-7/3 V_эск) + V_эск)).
Упрощаем выражение:
L = (-7/3 V_эск) * (40 / ((-7/3 + 3/3)V_эск)).
L = (-7/3 V_эск) * (40 / (-4/3)V_эск).
L = (-7/3) * (40 / (-4/3)) = 70.
Ответ: Саша насчитал бы 70 ступенек, спустившись по неподвижному эскалатору.