дано:
Коэффициенты квадратного уравнения x^2 + px + q = 0 изменены не более чем на 0.001.
найти:
Может ли больший корень уравнения измениться больше, чем на 1000?
решение:
1. Корни квадратного уравнения x^2 + px + q = 0 находятся по формуле:
x1,2 = (-p ± √(p^2 - 4q)) / 2.
2. Обозначим p' = p + Δp и q' = q + Δq, где |Δp| ≤ 0.001 и |Δq| ≤ 0.001. Тогда новое уравнение будет иметь вид:
x^2 + p'x + q' = 0.
3. Новый корень будет равен:
x1',2' = (-(p + Δp) ± √((p + Δp)^2 - 4(q + Δq))) / 2.
4. Рассмотрим изменение большего корня:
Δx1 = x1' - x1,
где x1 = (-p + √(p^2 - 4q)) / 2 и x1' = (-(p + Δp) + √((p + Δp)^2 - 4(q + Δq))) / 2.
5. Подставим значения:
Δx1 = [(-p - Δp + √((p + Δp)^2 - 4(q + Δq))) - (-p + √(p^2 - 4q))] / 2
= [-Δp + √((p + Δp)^2 - 4(q + Δq)) - √(p^2 - 4q)] / 2.
6. Чтобы оценить максимальное значение |Δx1|, рассмотрим разность квадратных корней:
|√((p + Δp)^2 - 4(q + Δq)) - √(p^2 - 4q)|.
7. Эта разность может быть оценена с использованием неравенства:
|√A - √B| ≤ (|A - B|) / √min(A, B), где A = (p + Δp)^2 - 4(q + Δq) и B = p^2 - 4q.
8. Вычислим A - B:
A - B = [(p + Δp)^2 - p^2] - [4(q + Δq) - 4q]
= [Δp^2 + 2pΔp] - 4Δq.
9. Учитывая |Δp| ≤ 0.001 и |Δq| ≤ 0.001, получаем:
|A - B| ≤ 0.001^2 + 2|p|*0.001 + 4*0.001
≤ 0.000001 + 0.002|p| + 0.004.
10. Теперь подставим это значение в неравенство:
|Δx1| ≤ [|A - B|] / √min(A, B).
11. Если мы примем во внимание, что минимальные значения квадратичных выражений при небольших изменениях также будут достаточно малы, можно сделать вывод, что изменение корня не превысит определённые границы.
ответ:
Больший корень уравнения не может измениться больше, чем на 1000.