дано:
Сумма любых двух углов треугольника равна 120°.
найти:
Докажите, что такой треугольник — равносторонний.
решение:
1. Пусть угол A, угол B и угол C — углы треугольника.
2. По свойству треугольника сумма всех его углов равна 180°:
A + B + C = 180°.
3. Из условия задачи известно, что сумма любых двух углов равна 120°. Рассмотрим два случая:
- A + B = 120°
- B + C = 120°
- C + A = 120°
4. Если A + B = 120°, тогда подставляем в уравнение суммы углов:
120° + C = 180°.
Отсюда находим:
C = 180° - 120° = 60°.
5. Теперь рассмотрим второй случай: B + C = 120°.
Подставляем в уравнение суммы углов:
A + 120° - C = 180°.
Получаем:
A = 180° - (B + C) = 180° - 120° = 60°.
6. Третий случай: C + A = 120°. Подставляем в уравнение суммы углов:
B + C = 180° - A.
Тогда:
B = 180° - (C + A) = 180° - 120° = 60°.
7. Таким образом, мы получили:
A = 60°, B = 60°, C = 60°.
8. Все углы треугольника равны 60°. Это означает, что треугольник является равносторонним.
ответ:
Треугольник, в котором сумма любых двух углов равна 120°, является равносторонним.