дано:
- треугольник ABC,
- высоты BB1 и CC1 пересекаются в точке H,
- AH = 4,
- угол BAC = 60°.
найти: длину стороны BC.
решение:
а) Докажем, что угол ANH1 равен углу ACB.
1. В треугольнике ABC проведены высоты BB1 и CC1, поэтому угол ABH и угол ACH равны 90°.
2. Рассмотрим треугольники AHB1 и AHC1.
3. В этих треугольниках:
- угол BAH = угол CAV (эквивалентные углы),
- угол ABH = угол ACH = 90°.
4. Таким образом, по теореме о равных углах при схожих треугольниках:
угол ANB1 = угол ACB.
б) Теперь найдем сторону BC.
1. Используем треугольник ANB1, где известно значение AN и угол BAC.
2. Известно, что AN = 4 и угол BAC = 60°.
3. Для нахождения стороны BC используем формулу для высоты через основание и угол.
4. Высота из точки A на сторону BC (которая является отрезком HB) равна:
h = AN * sin(BAC) = 4 * sin(60°).
5. Значение синуса 60° равно sqrt(3)/2.
6. Поэтому:
h = 4 * (sqrt(3)/2) = 2*sqrt(3).
7. Теперь можно найти основание BC. Мы знаем, что высота и основание связаны соотношением:
h = (BC * sin(ACB)) / 2.
8. Угол ACB также равен 60°, так как угол ANB1 равен углу ACB.
9. Таким образом:
h = (BC * sin(60°)) / 2 = (BC * (sqrt(3)/2)) / 2.
10. Приравниваем значения высоты:
2*sqrt(3) = (BC * (sqrt(3)/2)) / 2.
11. Умножив обе стороны на 2, получаем:
4*sqrt(3) = BC * (sqrt(3)/2).
12. Делим обе стороны на (sqrt(3)/2):
BC = 4*sqrt(3) / (sqrt(3)/2) = 4*sqrt(3) * (2/sqrt(3)) = 8.
ответ:
Длина стороны BC равна 8.