Дано:
Треугольник ABC. Пусть D, E и F — середины сторон AB, BC и AC соответственно.
Найти: Показать, что три средние линии DE, EF и FD делят треугольник ABC на 4 равных треугольника.
Решение:
1. По определению, средняя линия треугольника соединяет середины двух его сторон и параллельна третьей стороне. Таким образом:
- Линия DE параллельна AC и равна 1/2 * AC.
- Линия EF параллельна AB и равна 1/2 * AB.
- Линия FD параллельна BC и равна 1/2 * BC.
2. Рассмотрим треугольник ABC. Его площадь можно выразить как:
Площадь(ABC) = 1/2 * основание * высота.
3. Площадь треугольника DEF, образованного средними линиями, равна:
Площадь(DEF) = 1/2 * (1/2 * AC) * (1/2 * высота из D на EF) = 1/4 * Площадь(ABC).
4. Теперь мы имеем три треугольника, образованные средними линиями:
- Треугольник ADF.
- Треугольник DBE.
- Треугольник ECF.
5. Площадь каждого из этих треугольников равна:
Площадь(ADE) = 1/4 * Площадь(ABC),
Площадь(DBE) = 1/4 * Площадь(ABC),
Площадь(ECF) = 1/4 * Площадь(ABC).
6. Площадь треугольника DEF также равна 1/4 * Площадь(ABC).
7. Таким образом, сумма площадей четырех треугольников:
Площадь(ADE) + Площадь(DBE) + Площадь(ECF) + Площадь(DEF) = Площадь(ABC).
8. Это доказывает, что три средние линии делят треугольник ABC на 4 равных треугольника.
Ответ: Три средние линии делят треугольник ABC на 4 равных треугольника.