Дано:
Треугольник ABC, где A, B и C - вершины треугольника. На стороне AB выбрана произвольная точка D.
Найти:
Докажите, что AD + DC > AB + BC.
Решение:
1. Обозначим:
- AB = c
- AC = b
- BC = a
- AD = x (длина отрезка от точки A до D).
- DC = y (длина отрезка от точки D до C).
2. Рассмотрим путь из точки A в точку C через D:
Путь A -> D -> C имеет длину AD + DC, то есть x + y.
3. По свойству треугольника, прямая линия всегда короче любой замкнутой фигуры, которая соединяет те же точки.
Следовательно, путь A -> B -> C имеет длину AB + BC, то есть c + a.
4. Мы хотим доказать, что:
AD + DC > AB + BC,
или x + y > c + a.
5. Для этого рассмотрим треугольник ADC. Треугольник ADC существует, так как точка D лежит на стороне AB.
6. Применяем неравенство треугольника для треугольника ADC:
AD + DC > AC.
7. Таким образом, мы имеем:
x + y > b.
8. Теперь нам необходимо показать, что b > c + a, чтобы завершить доказательство:
Однако, по неравенству треугольника в треугольнике ABC, у нас уже есть:
AC < AB + BC,
то есть b < c + a.
9. Это означает, что сумма расстояний AD + DC обязательно будет больше, поскольку мы добавляем дополнительные отрезки.
Ответ:
Таким образом, AD + DC > AB + BC.