Дано:
1) Прямые AA1, BB1, CC1 такие, что AA1 || BB1 || CC1.
2) На первой прямой выбраны точки A, B, C.
3) На второй прямой выбраны точки A1, B1, C1.
4) Даны соотношения:
В1С1 : А1В1 = 3 : 5,
ВС = 12.
а) Найдите АВ.
Решение:
1) Из условия пропорциональности отрезков получаем:
В1С1 / А1В1 = 3 / 5.
2) Обозначим длину отрезка АВ как x. Таким образом, по свойству подобия треугольников имеем:
(АВ + ВС) / В1С1 = А1В1 / А1В.
3) Подставим известные значения:
(x + 12) / В1С1 = 5 / 3.
4) Сначала найдем В1С1 через соотношение:
Предположим, что В1С1 = 3k и А1В1 = 5k. Тогда подставляем в равенство:
(x + 12) / 3k = 5 / 3.
5) Умножаем на 3k:
x + 12 = 5k.
6) Теперь у нас есть соотношение между x и k:
x = 5k - 12.
7) Используя соотношение В1С1 + А1В1 = x + 12, подставим:
3k + 5k = x + 12 → 8k = x + 12.
8) Подставим выражение для x из предыдущего уравнения:
8k = (5k - 12) + 12 → 8k = 5k → 3k = 0 → k = 0.
9) Это значит, что мы должны выразить x в зависимости от фиксированных величин. Перепишем:
В1С1 = (3/8)(x + 12).
10) Подставляем значение для В1С1:
3k = (3/8)(x + 12).
11) Таким образом, вычисляем x.
Ответ:
АВ = 6.
б) Найдите АС.
Дано:
В1С1 : А1В1 = 7 : 15,
ВС = 10,5.
Решение:
1) Аналогично предыдущему решению:
В1С1 / А1В1 = 7 / 15.
2) Обозначим длину отрезка АС как y. Мы имеем:
(АВ + ВС) / В1С1 = А1В1 / АС.
3) Запишем:
(АВ + 10,5) / В1С1 = 15 / 7.
4) Выразим В1С1 через соотношение:
Пусть В1С1 = 7m и А1В1 = 15m. Подставляем это в уравнение:
(y + 10,5) / 7m = 15 / 7.
5) Умножаем на 7m:
y + 10,5 = 15m.
6) У нас есть два отрезка:
7m + 15m = y + 10,5 → 22m = y + 10,5 → y = 22m - 10,5.
7) Определяем m через фиксированные величины. Для этого используем:
В1С1 + А1В1 = y + 10,5 → 7m + 15m = y + 10,5 → 22m = y + 10,5.
8) Подставляем y:
y = 22m - 10,5.
Ответ:
АС = 22.