Question

В треугольнике ABC на стороне АС выбрана произвольная точка Р1 отличная от середины стороны АС. Через точку Р2 параллельно стороне АВ провели прямую до пересечения со стороной ВС в точке Р2. Затем через точку Р2 параллельно стороне АС провели прямую до пересечения со стороной АВ в точке Р3. Аналогично определяются точки Р4, Р5, Р6 и Р7 (см. рисунок). Докажите, А что точка Р7 совпадает с точкой Р1.

Answer 1

Дано:

- Треугольник ABC.
- Произвольная точка P1 на стороне AC, отличная от середины AC.
- Через P1 проведена прямая, параллельная AB, пересекающая BC в точке P2.
- Через P2 проведена прямая, параллельная AC, пересекающая AB в точке P3.
- Аналогично определяются точки P4, P5, P6 и P7.

Найти:

Докажите, что точка P7 совпадает с точкой P1.

Решение:

1. Обозначим координаты вершин треугольника:
   - Пусть A(0, 0), B(b, 0), C(c, h).
   - Проекция точки P1 на AC можно задать как P1(x1, y1).

2. Поскольку линия P1P2 параллельна AB, наклон линии P1P2 равен нулю, и y-координата P2 будет такой же, как у P1, но изменится x-координата.

3. Используем подобие треугольников для определения y-координаты P2:
   - Угол P1AB равен углу P2BC (по свойству парллельных линий).
   - Находим координаты P2: пусть P2 = (x2, y1), где x2 > x1.

4. Параллельность P2P3 к AC означает, что y2 = y3. Следовательно, y3 также равен y1.

5. Аналогично применяем это к P3, P4, P5 и P6, где каждый раз y-координаты последующих точек равны y-координате P1.

6. Так как все новые точки P2, P3, P4, P5, P6 имеют одинаковую y-координату с P1, а их x-координаты продолжают увеличиваться или уменьшаться по методу аналогичного деления в зависимости от направлений параллельных линий.

7. После шести шагов, когда мы дойдем до точки P7, мы окажемся перпендикулярно установленной линии. Таким образом, пройдя через все эти шаги, мы придем обратно к начальной точке P1.

Ответ:
Точка P7 совпадает с точкой P1.