Question

На сторонах  АВ и ВС треугольника ABC отметили точки М и N соответственно. Докажите,  что треугольники ABC и NBM подобны и: а) найдите MN, если точки М и N отмечены так, как  показано на рисунке;
б) найдите ∠AMN, если ∠ACB = 60° и точки М и N отмечены так, что ВА • ВМ = НС • ВМ.

Answer 1

Дано:
Треугольник ABC, точки M на стороне AB и N на стороне BC. Дано условие BA • BM = NC • BM. Угол ACB равен 60°.

Найти:
a) Найдите MN.
b) Найдите угол AMN.

Решение:
1. Поскольку BA • BM = NC • BM, это означает, что отрезки BA и NC пропорциональны отрезкам BM и BM. Это может быть записано как:

BA / NC = BM / BM = 1.

2. Таким образом, отрезки BA и NC равны, и мы можем записать:

AB = NC.

3. Так как треугольники ABC и NBM имеют общую сторону BM и два соответствующих угла (∠A и ∠N), то по критерию подобия треугольников (по двум углам) треугольники ABC и NBM подобны.

4. Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно. Если обозначим длины сторон:

AB = a,
BC = b,
AC = c,
то, согласно нашему вывод, имеем:

MN / BC = AB / AC.

5. Для нахождения MN выразим MN:

MN = (AB / AC) * BC.

6. Теперь найдем угол AMN. В соответствии с тем, что ∠ACB = 60°, в треугольнике ABC:

∠AMN + ∠ACB = 180°.

7. Поскольку треугольники ABC и NBM подобны, угол AMN равен углу ACB:

∠AMN = ∠ACB.

Таким образом, подставляя значения:

∠AMN = 60°.

Ответ:
a) MN = (AB / AC) * BC.
b) ∠AMN = 60°.