а) Дано:
- АВ = 4 м
- ВС = 8 м
- АС = 6 м
Найти:
Длину отрезка MN.
Решение:
1. В треугольнике ABC, где MN || AC, по теореме о пропорциональных отрезках, имеем:
AM / AB = AN / AC.
2. Обозначим AM = x, тогда BN = x, так как AM = BN.
3. Тогда:
AB = AM + MB = x + MB,
BC = BN + NC = x + NC.
4. Из условия задачи следует, что:
MB = AB - AM = 4 - x,
NC = BC - BN = 8 - x.
5. Подставим это в уравнение из пропорций:
x / 4 = x / 6.
6. Упрощаем:
x / 4 = (8 - x) / 6.
7. Перекрестное умножение:
6x = 4(8 - x).
8. Раскрываем скобки:
6x = 32 - 4x.
9. Переносим все x в одну сторону:
6x + 4x = 32,
10x = 32.
10. Делим обе стороны на 10:
x = 3.2.
11. Теперь найдем длину отрезка MN. Поскольку MN || AC, то можно использовать пропорции для определения MN:
MN / AC = AM / AB.
12. Подставляем известные значения:
MN / 6 = 3.2 / 4.
13. Умножаем обе стороны на 6:
MN = 6 * (3.2 / 4) = 6 * 0.8 = 4.8.
Ответ:
MN = 4.8 м.
б) Дано:
- АВ = c
- ВС = a
- АС = b
Найти:
Длину отрезка MN.
Решение:
1. В треугольнике ABC, где MN || AC, по теореме о пропорциональных отрезках, имеем:
AM / AB = AN / AC.
2. Обозначим AM = x, тогда BN = x, так как AM = BN.
3. Тогда:
AB = AM + MB = x + MB,
BC = BN + NC = x + NC.
4. Из условия задачи следует, что:
MB = c - x,
NC = a - x.
5. Подставим это в уравнение из пропорций:
x / c = (a - x) / b.
6. Перекрестное умножение:
bx = c(a - x).
7. Раскрываем скобки:
bx = ac - cx.
8. Переносим все x в одну сторону:
bx + cx = ac,
(b + c)x = ac.
9. Делим обе стороны на (b + c):
x = ac / (b + c).
10. Теперь найдем длину отрезка MN. Поскольку MN || AC, то можно использовать пропорции для определения MN:
MN / AC = AM / AB.
11. Подставляем известные значения:
MN / b = x / c.
12. Подставляем значение x:
MN / b = (ac / (b + c)) / c.
13. Умножаем обе стороны на b:
MN = b * (ac / (b + c)) / c = ab / (b + c).
Ответ:
MN = ab / (b + c).