Дано: В треугольнике ABC на наибольшей стороне AC отмечены точки M и N так, что AM = AB и CN = CB. Также дано, что BM = BN.
Найти: Доказать, что треугольник ABC равнобедренный.
Решение:
Из условия задачи получаем, что треугольник ABM равнобедренный (так как AM = AB).
Аналогично, треугольник BCN равнобедренный (так как CN = CB).
Так как BM = BN, то угол MBN = угол MNB.
Рассмотрим треугольники ABM и NBC. У них равны две стороны (AB = AM и NB = NC), а также угол ABM = углу BCN (по условию). Значит, по признаку равенства двух сторон и угла между ними эти треугольники равны.
Следовательно, стороны AC и BC равны, и треугольник ABC является равнобедренным.
Ответ: Доказано, что если на наибольшей стороне AC треугольника ABC отмечены точки M и N так, что AM = AB, CN = CB и BM = BN, то треугольник ABC равнобедренный.