Дано:
Треугольник ABC, где угол C = 90 градусов.
Стороны: AC = a, BC = b, AB = c.
Точки M и N на гипотенузе AB: AM = AC = a, BN = BC = b.
Найти:
Угол NCM.
Решение:
1. Находим длину гипотенузы AB по теореме Пифагора:
c = sqrt(a^2 + b^2).
2. Находим длины отрезков:
AM = a, BN = b, тогда MB = c - a и AN = c - b.
3. Используем координаты для удобства.
Положим: A(0, 0), B(c, 0), C(0, b).
Тогда M(c - a, 0) и N(a, b).
4. Находим вектор NC:
NC = C - N = (0 - a, b - b) = (-a, 0).
5. Находим вектор NM:
NM = M - N = (c - a - a, 0 - b) = (c - 2a, -b).
6. Теперь найдем угол NCM, используя скалярное произведение:
cos(NCM) = (NC * NM) / (|NC| * |NM|).
|NC| = a,
|NM| = sqrt((c - 2a)^2 + b^2).
Скалярное произведение:
NC * NM = (-a)(c - 2a) + (0)(-b) = -a(c - 2a).
7. Теперь подставляем значения:
cos(NCM) = [-a(c - 2a)] / [a * sqrt((c - 2a)^2 + b^2)].
8. Найдя угол через арккосинус:
NCM = arccos{[-a(c - 2a)] / [a * sqrt((c - 2a)^2 + b^2)]}.
Ответ:
Угол NCM можно выразить через arccos, зависящий от сторон a, b и гипотенузы c.