дано:
- Внешний параллелограмм ABCD.
- Внутренний параллелограмм EFGH, вписанный в внешний так, что на каждой стороне внешнего параллелограмма лежит единственная вершина внутреннего параллелограмма.
найти:
- Доказать, что центры параллелограммов ABCD и EFGH совпадают.
решение:
1. Обозначим центры параллелограммов как O1 (центр ABCD) и O2 (центр EFGH).
2. Центр параллелограмма определяется как точка пересечения его диагоналей. Для параллелограмма ABCD это будет точка O1 = (A + C)/2, где A и C — противоположные вершины. Аналогично, для параллелограмма EFGH, центр будет O2 = (E + G)/2.
3. По условию, каждая вершина внутреннего параллелограмма EFGH лежит на соответствующей стороне внешнего параллелограмма ABCD. Это значит, что:
- Вершина E лежит на стороне AB,
- Вершина F лежит на стороне BC,
- Вершина G лежит на стороне CD,
- Вершина H лежит на стороне DA.
4. Из геометрии следует, что если параллелограмм вписан в другой, то его вершины делят стороны внешнего параллелограмма на равные части. Таким образом, отрезки AE, BF, CG и DH будут равны.
5. Рассмотрим координаты центров:
- O1 = ((Ax + Bx + Cx + Dx)/4, (Ay + By + Cy + Dy)/4)
- O2 = ((Ex + Fx + Gx + Hx)/4, (Ey + Fy + Gy + Hy)/4)
6. Осколько E, F, G и H являются точками на сторонах AB, BC, CD и DA соответственно, их координаты можно выразить через координаты A, B, C и D. Например,
Ex = k1 * Ax + (1-k1) * Bx,
где k1 — доля отрезка AB, на которой находится точка E. Аналогично можно записать для F, G и H.
7. Если рассмотреть все полученные выражения, получится, что:
- O2 также будет равно (Ax + Bx + Cx + Dx)/4 и (Ay + By + Cy + Dy)/4.
8. Следовательно, O1 = O2.
ответ:
Центры параллелограммов ABCD и EFGH совпадают, так как внутренний параллелограмм вписан в внешний, что приводит к равенству их центров.