Из точки A, лежащей все окружности, проведены к окружности касательная и секущая. Расстояние от точки А до точки касания равно 16, а расстояние от точки А до ближайшей точки пересечения секущей с окружностью равно 32 Найдите радиус окружности, если расстояние от её центра до секущей равно 5.
от

1 Ответ

Дано:
- расстояние от точки A до точки касания окружности = 16 (м)
- расстояние от точки A до ближайшей точки пересечения секущей с окружностью = 32 (м)
- расстояние от центра окружности до секущей = 5 (м)

Найти: радиус окружности r.

Решение:

1. Обозначим точку касания как T, центром окружности как O, а ближайшую точку пересечения секущей с окружностью как B.

2. По свойству касательной, отрезок AT является касательной к окружности, и следовательно:
   AT^2 = AO^2 - OT^2, где AO – расстояние от точки A до центра окружности O, OT – радиус окружности r.

3. Заметим, что AO = AT + TO = 16 + r.

4. Подставим это в уравнение:
   16^2 = (16 + r)^2 - r^2.

5. Раскроем скобки:
   256 = (256 + 32r + r^2) - r^2.

6. Упростим уравнение:
   256 = 256 + 32r.

7. Получаем:
   0 = 32r,
   r = 0.

Однако, нам также необходимо учитывать расстояние от центра окружности до секущей.

8. Расстояние от центра окружности до секущей равно 5, и этот отрезок перпендикулярен секущей. Так как расстояние от точки A до B равно 32, то по теореме Пифагора:
   (AB)^2 = (AO)^2 - (OB)^2.

9. Мы знаем, что OB = r, и подставляем AO = AB + BO = 32 + 5 = 37:
   32^2 = 37^2 - r^2.

10. Теперь решим уравнение:
    1024 = 1369 - r^2,
    r^2 = 1369 - 1024,
    r^2 = 345.

11. Извлечем корень из r^2:
    r = sqrt(345).

Ответ: радиус окружности r примерно равен 18.57 м.
от