Дано:
- расстояние от точки A до точки касания окружности = 16 (м)
- расстояние от точки A до ближайшей точки пересечения секущей с окружностью = 32 (м)
- расстояние от центра окружности до секущей = 5 (м)
Найти: радиус окружности r.
Решение:
1. Обозначим точку касания как T, центром окружности как O, а ближайшую точку пересечения секущей с окружностью как B.
2. По свойству касательной, отрезок AT является касательной к окружности, и следовательно:
AT^2 = AO^2 - OT^2, где AO – расстояние от точки A до центра окружности O, OT – радиус окружности r.
3. Заметим, что AO = AT + TO = 16 + r.
4. Подставим это в уравнение:
16^2 = (16 + r)^2 - r^2.
5. Раскроем скобки:
256 = (256 + 32r + r^2) - r^2.
6. Упростим уравнение:
256 = 256 + 32r.
7. Получаем:
0 = 32r,
r = 0.
Однако, нам также необходимо учитывать расстояние от центра окружности до секущей.
8. Расстояние от центра окружности до секущей равно 5, и этот отрезок перпендикулярен секущей. Так как расстояние от точки A до B равно 32, то по теореме Пифагора:
(AB)^2 = (AO)^2 - (OB)^2.
9. Мы знаем, что OB = r, и подставляем AO = AB + BO = 32 + 5 = 37:
32^2 = 37^2 - r^2.
10. Теперь решим уравнение:
1024 = 1369 - r^2,
r^2 = 1369 - 1024,
r^2 = 345.
11. Извлечем корень из r^2:
r = sqrt(345).
Ответ: радиус окружности r примерно равен 18.57 м.