дано:
параллелограмм ABCD, диагонали AC и BD пересекаются в точке O.
найти:
доказать, что параллелограмм делится точкой пересечения диагоналей на 4 равновеликих треугольника.
решение:
1. Рассмотрим параллелограмм ABCD. По определению параллелограмма противолежащие стороны равны и параллельны: AB = CD и AD = BC.
2. Проведем диагонали AC и BD, которые пересекаются в точке O. Точки A, B, C и D делят параллелограмм на 4 треугольника: AOB, BOC, COD и DOA.
3. Рассмотрим треугольники AOB и COD.
- Поскольку AB || CD и AO является секущей, то углы AOB и COD равны (по теореме о наклонных углах).
- Также AO = OC (потому что O — середина диагонали AC) и BO = OD (так как O — середина диагонали BD).
4. Таким образом, у нас есть два треугольника AOB и COD, которые имеют:
- углы AOB = угол COD,
- сторона AO = сторона OC,
- сторона BO = сторона OD.
5. Следовательно, по признаку "угол-сторона-сторона" (USS), треугольники AOB и COD равны.
6. Аналогично рассмотрим треугольники BOC и DOA.
- Углы BOC и DOA равны (так как BO || AD).
- Кроме того, OC = AO и BO = OD.
7. Таким образом, треугольники BOC и DOA также равны.
8. Мы показали, что:
S_AOB = S_COD и S_BOC = S_DOA.
9. Площадь параллелограмма ABCD равна сумме площадей этих четырех треугольников:
S_ABCD = S_AOB + S_BOC + S_COD + S_DOA.
10. Так как пары треугольников равны, можем написать:
S_AOB = S_COD и S_BOC = S_DOA.
11. Следовательно, площадь каждого из 4 треугольников AOB, BOC, COD и DOA равна и составляет 1/4 от площади параллелограмма ABCD.
ответ:
Таким образом, параллелограмм делится точкой пересечения диагоналей на 4 равновеликих треугольника.