дано:
параллелограмм ABCD, диагонали AC и BD.
найти:
доказать, что диагонали делят параллелограмм на четыре равновеликих треугольника.
решение:
Пусть параллелограмм ABCD, и его диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Мы должны доказать, что треугольники AOB, BOC, COD и DOA имеют одинаковую площадь.
1. Площадь параллелограмма можно выразить через одну из его диагонал и высоту, проведённую к ней. Например, площадь параллелограмма ABCD равна произведению длины диагонали AC на высоту h, проведённую к ней.
2. Диагонали параллелограмма пересекаются в точке O, и делят его на 4 треугольника: AOB, BOC, COD и DOA. Так как диагонали параллелограмма делятся пополам, то AO = OC и BO = OD. Это означает, что каждая из диагонал является медианой в соответствующем треугольнике.
3. Рассмотрим треугольник AOB. Он имеет основание BO и высоту, проведённую из точки A (эта высота одинаковая для всех четырёх треугольников, так как они лежат в одном параллелограмме).
4. Площадь треугольника AOB равна (1/2) * BO * h. Аналогично, площадь треугольников BOC, COD и DOA будет также (1/2) * BO * h, так как все они имеют одинаковые основания и высоты.
5. Площадь всего параллелограмма ABCD равна сумме площадей этих четырёх треугольников, и так как диагонали делят параллелограмм на четыре равные части, все четыре треугольника имеют одинаковую площадь.
Ответ: диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника.