Дано:
- Стороны треугольника: a, b, c.
Найти:
а) радиус вписанной в треугольник окружности r;
б) высоту треугольника h_a, проведённую к стороне a;
в) радиус описанной окружности R.
Решение:
а) Радиус вписанной окружности r можно найти по формуле:
r = S / p,
где S - площадь треугольника, p - полупериметр, p = (a + b + c) / 2.
1. Найдем полупериметр:
p = (a + b + c) / 2.
2. Площадь треугольника S можно вычислить по формуле Герона:
S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)).
3. Подставим значение S в формулу для r:
r = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)) / p.
б) Высота h_a треугольника, проведённая к стороне a, определяется как:
h_a = (2S) / a.
1. Мы уже знаем S из предыдущего шага, поэтому подставляем:
h_a = (2 * √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))) / a.
в) Радиус описанной окружности R можно найти по формуле:
R = (abc) / (4S).
1. Подставим значение S:
R = (abc) / (4 * √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))).
Ответ:
а) радиус вписанной окружности r = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)) / p;
б) высота треугольника h_a = (2 * √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))) / a;
в) радиус описанной окружности R = (abc) / (4 * √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))).