Дано:
Треугольник ABC с биссектрисой AD, где D - точка на стороне BC.
Найти:
Доказать, что выполняется равенство AB : AC = BD : DC.
Решение:
1. По определению, биссектрисой угла A называется отрезок AD, который делит угол A на два равных угла: угол BAD = угол CAD.
2. Используем теорему о пропорциональности отрезков, созданных биссектрисой угла:
AB / AC = BD / DC.
3. Рассмотрим треугольники ABD и ACD. Эти треугольники имеют общий угол A и угол BDA равен углу CDA (так как AD – это биссектрисa).
4. По признаку подобия треугольников (по двум углам):
треугольник ABD ~ треугольнику ACD.
5. Из подобия треугольников следует, что:
AB / AC = BD / DC.
6. Таким образом, мы получили требуемое равенство.
Ответ:
Доказано, что в треугольнике ABC с биссектрисой AD выполняется равенство AB : AC = BD : DC.