Дано:
- треугольник ABC, где AB = BC = 6√2 м, AC = 6√5 м.
- точка K на продолжении стороны AB за точкой B, такая что AB • NK = 2:3.
Найти:
- доказать, что треугольник ASK является равнобедренным.
Решение:
1. Найдем длину отрезка AK. Пусть AB = 6√2. По условию, AK = AB + BK.
2. Найдем BK. Поскольку AB : BK = 2 : 3, то можно записать:
BK = (3/2) * AB = (3/2) * 6√2 = 9√2.
3. Теперь найдем AK:
AK = AB + BK = 6√2 + 9√2 = 15√2.
4. Теперь проверим, равны ли отрезки AS и KS. Для этого найдем их длины.
5. Рассмотрим треугольник ACB. В нем AB = BC, что означает, что угол ACB равен углу ABC. Известно, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусов, следовательно, угол BAC равен 180 - 2 * угол ACB.
6. Используя теорему косинусов для треугольника ABC, можем найти угол ACB:
AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cos(ACB).
Подставим известные значения:
(6√5)^2 = (6√2)^2 + (6√2)^2 - 2 * (6√2) * (6√2) * cos(ACB).
7. Упрощаем:
180 = 72 + 72 - 72 * cos(ACB),
180 = 144 - 72 * cos(ACB).
Отсюда:
72 * cos(ACB) = 144 - 180,
72 * cos(ACB) = -36,
cos(ACB) = -1/2.
8. Значит, угол ACB равен 120 градусам. Таким образом, угол BAK равен 60 градусам.
9. Теперь рассмотрим треугольник ASK. Угол KAS равен углу BAC, а угол AKS равен углу ABC.
10. Так как угол KAS = угол ABC и AK = AS, то треугольник ASK является равнобедренным.
Ответ: треугольник AСK является равнобедренным.