Дано: треугольник ABC, где AC = 13, AB = 14, BC = 15. На стороне BC выбрана точка M так, что CM : MB = 1 : 2.
Найти: AM.
Решение:
1. Найдем координаты точек A, B и C, чтобы использовать их для вычислений.
Пусть:
C(0, 0), B(15, 0).
Для нахождения координат точки A используем теорему о расстоянии.
2. Координаты точки A можно найти с помощью системы уравнений:
(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 13^2 (расстояние AC)
(x - 15)^2 + (y - 0)^2 = 14^2 (расстояние AB)
Это дает нам:
x^2 + y^2 = 169 (1)
(x - 15)^2 + y^2 = 196 (2)
3. Раскроем второе уравнение:
(x^2 - 30x + 225 + y^2 = 196
Подставим x^2 + y^2 из (1):
169 - 30x + 225 = 196
-30x + 394 = 196
-30x = 196 - 394
-30x = -198
x = 6.6
4. Подставим x в (1) для нахождения y:
6.6^2 + y^2 = 169
43.56 + y^2 = 169
y^2 = 169 - 43.56
y^2 = 125.44
y = 11.2
Таким образом, A(6.6, 11.2), B(15, 0), C(0, 0).
5. Теперь найдем координаты точки M на стороне BC.
Сначала найдем длины отрезков BM и CM:
Обозначим CM = k, тогда MB = 2k. По условию:
k + 2k = 15 => 3k = 15 => k = 5.
Значит, CM = 5, MB = 10.
6. Координаты точки M:
M в координатах:
M = (15 - 10, 0) = (5, 0).
7. Теперь находим расстояние AM:
AM = sqrt((xA - xM)^2 + (yA - yM)^2)
AM = sqrt((6.6 - 5)^2 + (11.2 - 0)^2)
AM = sqrt((1.6)^2 + (11.2)^2)
AM = sqrt(2.56 + 125.44)
AM = sqrt(128)
AM = 8 √2.
Ответ: AM = 8 √2.