Дано:
Четыре единичных вектора A, B, C, D такие, что A + B + C + D = 0.
Найти:
Показать, что векторы A, B, C и D можно разбить на две пары противоположных векторов.
Решение:
1. Поскольку сумма векторов равна нулю, то можно выразить один из векторов через остальные. Например, выразим D:
D = - (A + B + C).
2. Так как векторы имеют единичную длину, то |A| = |B| = |C| = |D| = 1.
3. Рассмотрим сумму квадратов длин векторов:
|A|^2 + |B|^2 + |C|^2 + |D|^2 = 1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 = 4.
4. С другой стороны, используя выражение для D, получаем:
|D|^2 = |-(A + B + C)|^2 = |A + B + C|^2.
5. Раскроем скобки по формуле суммы квадратов:
|A + B + C|^2 = |A|^2 + |B|^2 + |C|^2 + 2(A·B + A·C + B·C).
6. Подставим известные значения:
1 + 1 + 1 + 2(A·B + A·C + B·C) = 4.
7. Упростим уравнение:
2(A·B + A·C + B·C) = 4 - 3 = 1.
8. Таким образом, получаем:
A·B + A·C + B·C = 0.5.
9. Теперь рассмотрим сумму векторов попарно:
(A + B) и (C + D).
10. Если векторы A и B имеют угол между собой, равный 120 градусов, то вектор C будет направлен так, чтобы уравновесить их.
11. Аналогично, вектор D будет направлен против суммы A и B, оставаясь единичным вектором.
12. Это означает, что можно разбить векторы на две пары:
(A, D) и (B, C), где A = -D и B = -C.
Ответ:
Векторы A, B, C и D могут быть разбиты на две пары противоположных векторов.