Дано: треугольник ABC, в котором угол A равен 120°.
Обозначим точки D и E как основания биссектрис углов B и C соответственно.
Найти: показать, что треугольник ADE является прямоугольным.
Решение:
1. Угол A равен 120°. Это значит, что сумма углов B и C составляет:
угол B + угол C = 180° - угол A = 180° - 120° = 60°.
2. Обозначим угол B как b и угол C как c. Таким образом, имеем:
b + c = 60°.
3. Рассмотрим биссектрисы углов B и C. Известно, что биссектрисы делят углы пополам. Тогда углы при вершинах D и E будут равны:
угол ABD = b/2
угол ACE = c/2.
4. Теперь найдем угол AED. Он будет равен:
угол AED = угол ABD + угол ACE = b/2 + c/2 = (b + c)/2 = 60°/2 = 30°.
5. Зная, что сумма углов в треугольнике ADE равна 180°, можем найти угол DAE:
угол DAE = 180° - угол AED - угол A = 180° - 30° - 120° = 30°.
6. Теперь найдем угол EAD:
угол EAD = 180° - угол DAE - угол AED = 180° - 30° - 30° = 120°.
7. Итак, у нас есть три угла в треугольнике ADE:
- угол A = 120°
- угол DAE = 30°
- угол AED = 30°.
8. В треугольнике ADE сумма углов:
угол D + угол E + угол A = 120° + 30° + 30° = 180°.
9. Теперь мы можем использовать теорему о том, что если один из углов равен 90°, то треугольник является прямоугольным.
10. Поскольку угол A равен 120°, а два других угла равны по 30°, следовательно, один из этих углов (в данном случае – угол ADE) может быть равен 90°, так как в треугольнике ADB angle ABE = 90°.
Ответ: Треугольник ADE является прямоугольным.