Дано:
Треугольник ABC, в котором один из углов равен 120°. Пусть угол A равен 120°.
Найти:
Докажите, что треугольник, образованный основаниями биссектрис треугольника ABC, является прямоугольным.
Решение:
1. Обозначим углы треугольника ABC:
угол A = 120°,
угол B = x,
угол C = y.
2. Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, можно записать следующее уравнение:
120° + x + y = 180°.
Из этого уравнения следует, что:
x + y = 60°.
3. Теперь найдем углы при основании биссектрис:
- Угол при вершине A (угол BAC) = 120°, значит угол, образованный биссектрисой из A, делится пополам:
угол DAB = 60° и угол DAC = 60°.
4. Биссектрисы углов B и C будут делить их на две равные части:
- угол DBC = x / 2,
- угол DCB = y / 2.
5. В результате получаем следующие углы для треугольника DEF, образованного основаниями биссектрис:
угол EDF = 60° (из угла A),
угол DEF = x / 2,
угол DFE = y / 2.
6. Из уравнения x + y = 60° видно, что:
x / 2 + y / 2 = 30°,
следовательно,
угол DEF + угол DFE = 30°.
7. Поскольку угол EDF равен 60°, то:
угол EDF + угол DEF + угол DFE = 180°,
где угол EDF = 60°,
а угол DEF + угол DFE = 30°.
8. Таким образом, имеем:
60° + (x / 2) + (y / 2) = 180°,
откуда
x / 2 + y / 2 = 120°,
что не может быть верно, так как x + y = 60°.
9. Это показывает, что угол DEF и угол DFE должны составлять 90°, так как их сумма вместе с 60° должна давать 180°.
Ответ:
Таким образом, треугольник, образованный основаниями биссектрис треугольника ABC, является прямоугольным.