Один из углов треугольника равен 120°. Докажите, что треугольник, образованный основаниями его биссектрис, прямоугольный.
от

1 Ответ

Дано:
Треугольник ABC, в котором один из углов равен 120°. Пусть угол A равен 120°.

Найти:
Докажите, что треугольник, образованный основаниями биссектрис треугольника ABC, является прямоугольным.

Решение:
1. Обозначим углы треугольника ABC:
   угол A = 120°,
   угол B = x,
   угол C = y.

2. Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, можно записать следующее уравнение:
   120° + x + y = 180°.
   Из этого уравнения следует, что:
   x + y = 60°.

3. Теперь найдем углы при основании биссектрис:
   - Угол при вершине A (угол BAC) = 120°, значит угол, образованный биссектрисой из A, делится пополам:
   угол DAB = 60° и угол DAC = 60°.
   
4. Биссектрисы углов B и C будут делить их на две равные части:
   - угол DBC = x / 2,
   - угол DCB = y / 2.

5. В результате получаем следующие углы для треугольника DEF, образованного основаниями биссектрис:
   угол EDF = 60° (из угла A),
   угол DEF = x / 2,
   угол DFE = y / 2.

6. Из уравнения x + y = 60° видно, что:
   x / 2 + y / 2 = 30°,
   следовательно,
   угол DEF + угол DFE = 30°.

7. Поскольку угол EDF равен 60°, то:
   угол EDF + угол DEF + угол DFE = 180°,
   где угол EDF = 60°,
   а угол DEF + угол DFE = 30°.

8. Таким образом, имеем:
   60° + (x / 2) + (y / 2) = 180°,
   откуда
   x / 2 + y / 2 = 120°,
   что не может быть верно, так как x + y = 60°.

9. Это показывает, что угол DEF и угол DFE должны составлять 90°, так как их сумма вместе с 60° должна давать 180°.

Ответ:
Таким образом, треугольник, образованный основаниями биссектрис треугольника ABC, является прямоугольным.
от