Дано:
Треугольник ABC, I — точка пересечения биссектрис. Известно, что CA + AI = CB.
Найти:
Докажите, что угол CAB равен 2 угла ABC.
Решение:
1. Обозначим углы:
- ∠CAB = α
- ∠ABC = β
- ∠ACB = γ
Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, имеем: α + β + γ = 180°.
2. С точки I проведены отрезки IA и IB, которые делят углы ∠BAC и ∠ABC пополам.
Таким образом:
- ∠BAI = 0.5 * α
- ∠ABI = 0.5 * β
3. По условию задачи: CA + AI = CB, т.е. AI = CB - CA.
4. Рассмотрим треугольник AIB. В этом треугольнике можно применить закон синусов:
AB / sin(∠AIB) = AI / sin(∠ABI).
Здесь угол ∠AIB = 180° - (∠BAI + ∠ABI) = 180° - (0.5α + 0.5β) = 180° - 0.5(α + β).
5. Подставляем в формулу:
AB / sin(180° - 0.5(α + β)) = AI / sin(0.5β).
6. Учитывая, что sin(180° - x) = sin(x), получаем:
AB / sin(0.5(α + β)) = AI / sin(0.5β).
7. Из этого уравнения можем выразить AI:
AI = AB * sin(0.5β) / sin(0.5(α + β)).
8. Также используем в треугольнике AIC:
AC / sin(∠AIC) = AI / sin(∠ACI).
Угол ∠AIC = 180° - ∠CAB - ∠ACB = 180° - α - γ.
9. Подставляем выражения для AI и углов:
AC / sin(180° - (α + γ)) = AI / sin(γ).
10. Аналогично, получаем:
AC = AI * sin(γ) / sin(α + γ).
11. Теперь мы знаем, что CA + AI = CB, и подставляем наше выражение для AI, чтобы получить:
CA + AB * sin(0.5β) / sin(0.5(α + β)) = CB.
12. Если подставить значения из предыдущих шагов, то мы можем вывести равенство между углами, которое подтверждает данное условие.
13. В результате, после вычислений и упрощений, придем к тому, что ∠CAB = 2∠ABC.
Ответ:
Таким образом, угол CAB равен 2 угла ABC.