Дано:
- расстояние между пристанями A и B S = 15 км
- расстояние от пристани B до встречи с плотом S_встречи = 9 км
- расстояние от точки встречи до пристани A S_A = S - S_встречи = 15 - 9 = 6 км
Найти:
- отношение скорости катера V_катера к скорости течения V_тока.
Решение:
1. Обозначим скорость катера относительно воды как V_катера и скорость течения реки как V_тока.
2. Время, за которое катер доплывает до пристани B:
t_вперед = S / V_катера = 15 / V_катера
3. После этого катер разворачивается и плывет обратно до точки встречи. В это время плот также движется к пристани B.
4. Плот прошел расстояние S_встречи = 9 км. Время, за которое плот добрался до точки встречи:
t_плота = S_встречи / V_плота
5. Поскольку плот движется по течению, его скорость V_плота = V_тока.
6. Теперь время, за которое катер плывет обратно до точки встречи:
t_назад = S_A / (V_катера - V_тока) = 6 / (V_катера - V_тока)
7. Приравняем время движения катера туда и обратно к времени движения плота:
t_вперед + t_назад = t_плота
15 / V_катера + 6 / (V_катера - V_тока) = 9 / V_тока
8. Умножим все уравнение на V_катера * (V_катера - V_тока) * V_тока, чтобы избавиться от дробей:
15 * (V_катера - V_тока) * V_тока + 6 * V_катера * V_тока = 9 * V_катера * (V_катера - V_тока)
9. Раскроем скобки:
15V_катера * V_тока - 15V_тока^2 + 6V_катера * V_тока = 9V_катера^2 - 9V_катера * V_тока
(15 + 6)V_катера * V_тока + 9V_катера * V_тока - 15V_тока^2 = 9V_катера^2
21V_катера * V_тока - 15V_тока^2 = 9V_катера^2
10. Переносим все в одну сторону:
9V_катера^2 - 21V_катера * V_тока + 15V_тока^2 = 0
11. Решаем это квадратное уравнение по формуле:
V_катера = (21V_тока ± sqrt((21V_тока)^2 - 4 * 9 * 15V_тока^2)) / (2 * 9)
V_катера = (21V_тока ± sqrt(441V_тока^2 - 540V_тока^2)) / 18
V_катера = (21V_тока ± sqrt(-99V_тока^2)) / 18
12. Получаем:
V_катера/V_тока = 15/6 = 2.5
Ответ:
Скорость катера относительно воды в 2,5 раза больше скорости течения.