Question

Радиус некоторой планеты в √2 раза меньше радиуса Земли, а ускорение свободного падения на поверхности планеты в 3 раза меньше, чем на поверхности Земли. Во сколько раз масса планеты меньше массы Земли?

Answer 1

Дано:  
- Радиус Земли (Rе) = 6370 км = 6370 * 10^3 м.  
- Радиус планеты (Rп) = Rе / √2 = (6370 * 10^3) / √2 м.  
- Ускорение свободного падения на Земле (gе) ≈ 9.81 м/с².  
- Ускорение свободного падения на поверхности планеты (gп) = gе / 3.

Найти:  
- Во сколько раз масса планеты (мп) меньше массы Земли (ме).

Решение:  
1. Ускорение свободного падения на поверхности планеты выражается формулой:  
gп = G * мп / Rп²,  
где G — гравитационная постоянная.

2. Ускорение свободного падения на поверхности Земли:  
gе = G * ме / Rе².

3. Найдем отношение gп к gе:  
gп / gе = (G * мп / Rп²) / (G * ме / Rе²).  
Упрощаем:  
gп / gе = (мп / Rп²) / (ме / Rе²) = (мп * Rе²) / (ме * Rп²).

4. Подставим известные значения:  
gп = gе / 3 → gп = 9.81 / 3 ≈ 3.27 м/с².  
Rп = Rе / √2 → Rп = (6370 * 10^3) / √2.

5. Подставим в уравнение:  
(9.81 / 3) / 9.81 = (мп * Rе²) / (ме * ((Rе / √2)²)).  
Сократим на 9.81:  
1 / 3 = (мп * Rе²) / (ме * (Rе² / 2)).

6. Упрощаем:  
1 / 3 = (мп * Rе² * 2) / (ме * Rе²).  
Сократим Rе²:  
1 / 3 = (2 * мп) / ме.

7. Перепишем уравнение:  
мп = (ме / 3) / 2 = ме / 6.

Ответ:  
Масса планеты меньше массы Земли в 6 раз.