Дано:
- Длина наклонной плоскости (L) = 26 м
- Высота наклонной плоскости (h) = 10 м
- Коэффициент трения (μ) = 0,45
- Ускорение свободного падения (g) = 9,81 м/с²
Найти:
- Минимальная скорость (v0), которую нужно сообщить бруску, чтобы он достиг основания плоскости.
Решение:
1. Найдем угол наклона плоскости (α) с помощью соотношения между высотой и длиной наклонной плоскости:
sin(α) = h / L.
Подставляем значения:
sin(α) = 10 / 26.
Для нахождения угла можно использовать арксинус:
α = arcsin(10/26).
2. Найдем значения sin(α) и cos(α):
sin(α) = 10 / 26 ≈ 0,3846,
cos(α) = sqrt(1 - (10/26)^2) = sqrt(1 - 100/676) = sqrt(576/676) = 24/26 ≈ 0,9231.
3. Теперь найдем компоненты силы тяжести. Вес бруска (Fg):
Fg = m * g.
4. Компонента веса, параллельная наклонной плоскости (Fg,п):
Fg,п = Fg * sin(α) = m * g * sin(α).
5. Компонента веса, перпендикулярная наклонной плоскости (Fg,н):
Fg,н = Fg * cos(α) = m * g * cos(α).
Сила нормального давления (N) равна Fg,н:
N = m * g * cos(α).
6. Сила трения (Fтр):
Fтр = μ * N = μ * (m * g * cos(α)) = μ * m * g * cos(α).
7. Сила, действующая на брусок (F):
F = Fg,п - Fтр = m * g * sin(α) - μ * m * g * cos(α).
F = m * g * (sin(α) - μ * cos(α)).
8. Ускорение бруска (a):
a = F / m = g * (sin(α) - μ * cos(α)).
9. Подставим значения g, sin(α) и cos(α):
a = 9,81 * (sin(α) - 0,45 * cos(α)).
a ≈ 9,81 * (0,3846 - 0,45 * 0,9231) = 9,81 * (0,3846 - 0,4154) = 9,81 * (-0,0308) ≈ -0,302 м/с².
10. Теперь используем закон сохранения энергии для определения минимальной скорости в точке старта:
Кинетическая энергия (Ec) должна преодолеть потенциальную энергию (Ep) и работу силы трения (Aтр):
Ec + Ep0 = Ep + Aтр,
где
Ep0 = m * g * h,
Aтр = Fтр * d = μ * m * g * cos(α) * L.
11. Перепишем уравнение:
(1/2) * m * v0^2 + m * g * h = m * g * 0 + μ * m * g * cos(α) * L.
Упрощая, получаем:
(1/2) * v0^2 + g * h = μ * g * cos(α) * L.
12. Из этого уравнения выразим v0:
v0^2 = 2 * μ * g * cos(α) * L - 2 * g * h,
v0 = sqrt(2 * μ * g * cos(α) * L - 2 * g * h).
13. Подставим значения:
v0 = sqrt(2 * 0,45 * 9,81 * (24/26) * 26 - 2 * 9,81 * 10).
14. Вычислим значение:
v0 = sqrt(2 * 0,45 * 9,81 * 24 - 196,2),
v0 = sqrt(2 * 0,45 * 235,08 - 196,2),
v0 = sqrt(211,572 - 196,2) = sqrt(15,372) ≈ 3,91 м/с.
Ответ:
Минимальная скорость, которую необходимо сообщить бруску, составляет примерно 3,91 м/с.