Дано:
- Угол наклона первого склона θ1 = 30°
- Угол наклона второго склона θ2 = 45°
- Начальная скорость лыжника v1 = 72 км/ч = 20 м/с (переведем в СИ)
- Коэффициент трения μ = 0,1
- Сила сопротивления воздуха F_возд = k * v^2 (где k - пропорциональная константа)
Найти:
- Максимальную скорость лыжника v2 на склоне с углом 45°.
Решение:
1. Рассчитаем силы, действующие на лыжника на первом склоне (30°):
- Сила тяжести, действующая вниз по склону:
F_г = m * g * sin(θ1)
где g = 9,81 м/с^2 - ускорение свободного падения.
- Нормальная сила:
N = m * g * cos(θ1)
- Сила трения:
F_тр = μ * N = μ * m * g * cos(θ1)
- Сопротивление воздуха:
F_возд = k * v1^2
2. Составим уравнение движения для лыжника:
m * a = F_г - F_тр - F_возд
Подставим выражения для сил:
m * a = m * g * sin(θ1) - μ * m * g * cos(θ1) - k * v1^2
Упростим уравнение, разделив на m:
a = g * sin(θ1) - μ * g * cos(θ1) - (k/m) * v1^2
3. Найдем k, используя данные о первой скорости:
Когда лыжник достиг скорости 20 м/с, можно предположить, что он находится в равновесии. Следовательно, сумма сил равна нулю:
0 = g * sin(θ1) - μ * g * cos(θ1) - (k/m) * v1^2
Отсюда найдем k/m:
k/m = g * sin(θ1) - μ * g * cos(θ1) / v1^2
4. Подставим значения для θ1:
g * sin(30°) = 9,81 * 0,5 = 4,905 м/с^2
g * cos(30°) = 9,81 * (√3/2) ≈ 8,495 м/с^2
Теперь подставляем в формулу:
k/m = (4,905 - 0,1 * 8,495) / (20^2)
= (4,905 - 0,8495) / 400
= 4,0555 / 400 ≈ 0,010139
5. Теперь найдем максимальную скорость на втором склоне (45°). Составим уравнение движения:
m * a = g * sin(θ2) - μ * g * cos(θ2) - (k/m) * v2^2
6. Подставим значения для θ2:
g * sin(45°) = 9,81 * (√2/2) ≈ 6,936 м/с^2
g * cos(45°) = 9,81 * (√2/2) ≈ 6,936 м/с^2
Теперь уравнение выглядит так:
a = g * sin(45°) - μ * g * cos(45°) - (k/m) * v2^2
= 6,936 - 0,1 * 6,936 - (0,010139) * v2^2
7. Упрощаем:
a = 6,936 - 0,6936 - 0,010139 * v2^2
= 6,2424 - 0,010139 * v2^2
8. Установим равенство между ускорением и скоростью:
0 = 6,2424 - 0,010139 * v2^2
9. Переносим:
0,010139 * v2^2 = 6,2424
v2^2 = 6,2424 / 0,010139
v2^2 ≈ 616,36
10. Извлекаем корень:
v2 ≈ √616,36 ≈ 24,84 м/с
Ответ:
Максимальная скорость лыжника на склоне с углом наклона 45° будет приблизительно 24,84 м/с.