Дано:
масса бруска m
масса доски M = 3m
угол наклона α = 60°
коэффициент трения между бруском и доской μ1 = 0,3
коэффициент трения между доской и наклонной плоскостью μ2 = 0,4
расстояние от бруска до края доски S = 49 см = 0,49 м
Найти:
время t, за которое брусок достигнет края доски.
Решение:
1. Определим силы, действующие на брусок и доску.
Для бруска:
- Сила тяжести: F_brucek = m * g
- Нормальная сила: N_brucek = M * g * cos(α)
- Сила трения между бруском и доской: F_friction_brucek = μ1 * N_brucek = μ1 * m * g * cos(α)
Для доски:
- Сила тяжести: F_doska = M * g
- Нормальная сила: N_doska = M * g * cos(α)
- Сила трения между доской и плоскостью: F_friction_doska = μ2 * N_doska = μ2 * M * g * cos(α)
2. Найдем силы, действующие на брусок:
Сила, направленная вдоль доски (вниз) из-за наклона плоскости:
F_gravity_brucek = m * g * sin(α)
Таким образом, для бруска:
ma = F_gravity_brucek - F_friction_brucek
Подставим значения:
ma = m * g * sin(60°) - μ1 * m * g * cos(60°)
Упрощаем:
a_brucek = g * sin(60°) - μ1 * g * cos(60°)
3. Найдем ускорение доски:
Сила, действующая на доску:
F_gravity_doska = M * g * sin(α)
Для доски:
M*a_doska = F_gravity_doska - F_friction_doska
Подставляем значения:
3m * a_doska = 3m * g * sin(60°) - μ2 * 3m * g * cos(60°)
Упростим:
a_doska = g * sin(60°) - μ2 * g * cos(60°)
4. Теперь найдем относительное ускорение бруска относительно доски:
a_relative = a_brucek - a_doska
5. Подсчитаем a_brucek и a_doska:
a_brucek = g * (sin(60°) - μ1 * cos(60°))
a_doska = g * (sin(60°) - μ2 * cos(60°))
6. Подставим значения g = 9,81 м/с², sin(60°) = √3/2 ≈ 0,866, cos(60°) = 0,5:
a_brucek ≈ 9,81 * (0,866 - 0,3 * 0,5) = 9,81 * (0,866 - 0,15) = 9,81 * 0,716 ≈ 7,03 м/с²
a_doska ≈ 9,81 * (0,866 - 0,4 * 0,5) = 9,81 * (0,866 - 0,2) = 9,81 * 0,666 ≈ 6,55 м/с²
7. Относительное ускорение:
a_relative = a_brucek - a_doska ≈ 7,03 - 6,55 = 0,48 м/с²
8. Используем формулу для определения времени, когда брусок пройдет расстояние S:
S = (1/2) * a_relative * t²
Теперь выразим t:
t² = 2S / a_relative
t = sqrt(2S / a_relative)
9. Подставляем значения:
t = sqrt(2 * 0,49 / 0,48) ≈ sqrt(2,04) ≈ 1,43 с
Ответ:
Время, за которое брусок достигнет края доски, составляет примерно 1,43 секунды.