Дано:
h0 = 1 м (начальная высота)
α = 45° (угол наклона плоскости)
μ = 0.5 (коэффициент трения)
g = 9.81 м/с² (ускорение свободного падения)
Найти:
h (максимальная высота, на которую поднимется тело после удара об упор)
Решение:
1. Найдем компоненту силы тяжести, действующую вдоль наклонной плоскости:
F_gx = m * g * sin(α).
2. Найдем силу трения:
F_t = μ * N, где N = m * g * cos(α).
3. Сила нормальной реакции:
N = m * g * cos(45°) = m * g / sqrt(2).
4. Подставляем в силу трения:
F_t = μ * (m * g / sqrt(2)) = 0.5 * (m * g / sqrt(2)).
5. Запишем уравнение движения для тела по наклонной плоскости. Полная сила, действующая на тело:
F_total = F_gx + F_t = m * g * sin(45°) + μ * (m * g / sqrt(2)).
6. Подставим значение sin(45°) = cos(45°) = 1/sqrt(2):
F_total = m * g / sqrt(2) + 0.5 * (m * g / sqrt(2)) = (1 + 0.5) * (m * g / sqrt(2)) = 1.5 * (m * g / sqrt(2)).
7. Ускорение a:
a = F_total / m = 1.5 * (g / sqrt(2)).
8. Определим скорость v тела в нижней точке плоскости, используя закон сохранения энергии. Потенциальная энергия на высоте h0 равна кинетической энергии внизу:
m * g * h0 = (1/2) * m * v^2.
Отменяем массу m:
g * h0 = (1/2) * v^2.
v^2 = 2 * g * h0,
v = sqrt(2 * g * h0) = sqrt(2 * 9.81 * 1) ≈ 4.43 м/с.
9. После удара об упор тело отскакивает и поднимается обратно. Используем закон сохранения энергии для подъема:
(1/2) * m * v^2 = m * g * h,
где h - высота, на которую поднимется тело.
10. Отменим массу m:
(1/2) * v^2 = g * h,
h = (1/2) * (v^2 / g).
11. Подставляем значение v:
h = (1/2) * (4.43^2 / 9.81) ≈ (1/2) * (19.63 / 9.81) ≈ 1.00 м.
Ответ:
Максимальная высота, на которую поднимется тело после удара об упор, составляет примерно 1.00 м.