Дано:
радиус полусферы R = 90 см = 0.9 м,
отношение масс m1 : m2 = 2 : 1.
Найти:
максимальную высоту подъема тел (h_max) после абсолютно неупругого удара.
Решение:
1. Обозначим массы тел:
m1 = 2m,
m2 = m.
2. Определим начальные скорости тел при движении по полусфере. При свободном падении тело находит скорость в нижней точке, используя закон сохранения энергии.
Потенциальная энергия в верхней точке равна кинетической энергии в нижней точке:
mgh = 1/2 mv².
Для тела с массой m1:
m1gR = 1/2 m1v1²,
2gR = v1²,
v1 = sqrt(2gR).
Для тела с массой m2:
m2gR = 1/2 m2v2²,
2gR = v2²,
v2 = sqrt(2gR).
3. Найдём скорости в нижней точке. Подставляем g = 9.81 м/с² и R = 0.9 м:
v1 = sqrt(2 * 9.81 * 0.9) = sqrt(17.658) ≈ 4.20 м/с,
v2 = sqrt(2 * 9.81 * 0.9) = sqrt(17.658) ≈ 4.20 м/с.
4. Используем закон сохранения импульса для определения скорости после удара.
Импульс до удара равен сумме импульсов тел:
p_initial = m1 * v1 + m2 * v2 = 2m * 4.20 + m * 4.20 = (2m + m) * 4.20 = 3m * 4.20 = 12.6m.
После удара тела движутся вместе с одинаковой скоростью V:
p_final = (m1 + m2)V = (2m + m)V = 3mV.
По закону сохранения импульса:
p_initial = p_final,
12.6m = 3mV,
V = 12.6 / 3 ≈ 4.20 м/с.
5. Теперь найдём максимальную высоту подъема (h_max) после удара, используя закон сохранения энергии:
Кинетическая энергия после удара преобразуется в потенциальную энергию на высоте h_max:
(1/2)(3m)V² = (3m)gh_max.
Сокращаем массу:
(1/2)V² = gh_max.
Теперь подставим значение V:
(1/2)(4.20)² = 9.81h_max,
(1/2)(17.64) = 9.81h_max,
8.82 = 9.81h_max.
6. Находим h_max:
h_max = 8.82 / 9.81 ≈ 0.898 м.
Ответ:
Максимальная высота подъема тел после удара составляет примерно 0.898 м.