дано:
начальная средняя квадратичная скорость V1 = 300 м/с
новая средняя квадратичная скорость V2 = 500 м/с
изменение температуры dT1 = 100 К
найти:
дополнительное изменение температуры dT2, необходимое для достижения средней квадратичной скорости V3 = 700 м/с.
решение:
Средняя квадратичная скорость молекул газа связана с температурой следующим образом:
V = k * sqrt(T),
где k - константа, зависящая от массы молекул.
Исходя из этого, можем записать выражения для двух состояний (1 и 2):
V1 = k * sqrt(T1)
V2 = k * sqrt(T2)
Изменение температуры от T1 до T2 при изменении скорости от V1 до V2 происходит при повышении температуры на 100 К:
T2 = T1 + dT1.
Теперь подставим значения скоростей:
(500)^2 = k^2 * T2
(300)^2 = k^2 * T1.
В отношении этих двух уравнений мы можем выразить T2 и T1 через k:
T2 = (500^2 / k^2)
T1 = (300^2 / k^2).
Подставляем T2 в выражение для изменения температуры:
dT1 = T2 - T1
dT1 = (500^2 / k^2) - (300^2 / k^2)
dT1 = (250000 - 90000) / k^2
dT1 = 160000 / k^2.
Поскольку dT1 известно и равно 100 К:
100 = 160000 / k^2.
Отсюда получаем:
k^2 = 1600
k = 40.
Теперь найдем T1:
T1 = (300^2 / 40^2) = 2250 / 1600 = 1.40625 K.
Теперь определим T2:
T2 = T1 + 100 = 1.40625 + 100 = 101.40625 K.
Для получения третьего состояния с V3 = 700 м/с:
(700)^2 = k^2 * T3
T3 = (700^2 / 40^2).
Подставляя k:
T3 = 490000 / 1600 = 306.25 K.
Теперь определим, на сколько нужно поднять температуру:
dT2 = T3 - T2 = 306.25 - 101.40625 = 204.84375 K.
ответ:
необходимо поднять температуру еще примерно на 204.84 К, чтобы средняя квадратичная скорость возросла до 700 м/с.