Question

Проводящие сферы радиусами 15 мм и 45 мм, находящиеся достаточно далеко друг от друга, заряжены до потенциалов 90 В и 20 В соответственно. Каким станет потенциал сфер, если их соединить тонкой проволокой?

Answer 1

Дано:  
R1 = 15 мм = 0.015 м (радиус первой сферы)  
R2 = 45 мм = 0.045 м (радиус второй сферы)  
U1 = 90 В (потенциал первой сферы)  
U2 = 20 В (потенциал второй сферы)

Найти: потенциал сфер после соединения их тонкой проволокой.

Решение:
При соединении проводящих сфер через проволоку, заряды на сферах перераспределяются так, чтобы достигнуть равновесного потенциала.

1. Найдем заряды на каждой из сфер до соединения.

Заряд на первой сфере Q1 можно найти по формуле:

Q1 = C1 * U1

Где емкость C1 первой сферы рассчитывается как:

C1 = 4 * pi * epsilon_0 * R1  

Ограничимся расчетом емкости с учетом постоянной диэлектрической проницаемости вакуума:

epsilon_0 = 8.85 * 10^(-12) Ф/м

Таким образом:

C1 = 4 * pi * (8.85 * 10^(-12)) * (0.015)  
C1 ≈ 5.26 * 10^(-13) Ф

Теперь вычислим заряд Q1:

Q1 = C1 * U1  
Q1 = (5.26 * 10^(-13)) * 90  
Q1 ≈ 4.74 * 10^(-11) Кл

Аналогично найдем заряд Q2 на второй сфере:

C2 = 4 * pi * epsilon_0 * R2  
C2 = 4 * pi * (8.85 * 10^(-12)) * (0.045)  
C2 ≈ 5.01 * 10^(-11) Ф

Теперь вычислим заряд Q2:

Q2 = C2 * U2  
Q2 = (5.01 * 10^(-11)) * 20  
Q2 ≈ 1.00 * 10^(-10) Кл

2. После соединения сфер через проволоку общий заряд Q_total будет равен Q1 + Q2:

Q_total = Q1 + Q2  
Q_total ≈ (4.74 * 10^(-11)) + (1.00 * 10^(-10))  
Q_total ≈ 1.47 * 10^(-10) Кл

3. Теперь найдем общий потенциал U после соединения:

Общая емкость при соединении сфер (в параллельной конфигурации) будет:

C_total = C1 + C2  
C_total ≈ (5.26 * 10^(-13)) + (5.01 * 10^(-11))  
C_total ≈ 5.06 * 10^(-11) Ф

И теперь можем найти новый потенциал U:

U = Q_total / C_total  
U = (1.47 * 10^(-10)) / (5.06 * 10^(-11))  
U ≈ 29.05 В

Ответ:  
Потенциал сфер после соединения тонкой проволокой станет примерно 29.05 В.