Три одинаковые лампочки, соединенные параллельно, подключены к источнику постоянного тока. Когда одна из лампочек перегорела, мощность, выделяющаяся на каждой из оставшихся, возросла в 25/16  раза. Во сколько раз сопротивление одной лампочки больше внутреннего сопротивления батареи?
от

1 Ответ

Дано:  
Сопротивление одной лампочки R (в Ом).  
Сопротивление внутреннее батареи r (в Ом).  
Состояние до перегорания лампочки: три лампочки подключены параллельно.  
Состояние после перегорания одной лампочки: две лампочки остались.  
По условию, мощность на оставшихся лампочках увеличилась в 25/16 раз.

Найти:  
Во сколько раз сопротивление одной лампочки больше внутреннего сопротивления батареи (R/r).

Решение:

1. Рассмотрим первоначальную цепь с тремя лампочками, подключенными параллельно. Обозначим силу тока, проходящего через батарею, как I.

2. Общее сопротивление трех параллельно соединенных лампочек:  
1/Rп = 1/R + 1/R + 1/R = 3/R.  
Следовательно, Rп = R/3.

3. Сила тока в цепи:  
I = E / (Rп + r) = E / (R/3 + r).

4. Мощность на каждой лампочке до перегорания:  
P1 = I^2 * Rп/3 = (E / (R/3 + r))^2 * (R/3) / 3 = (E^2 * R) / (3(R/3 + r))^2.

5. После перегорания одной лампочки у нас осталось две лампочки, и общее сопротивление станет:  
1/Rп' = 1/R + 1/R = 2/R.  
Следовательно, Rп' = R/2.

6. Сила тока после перегорания одной лампочки:  
I' = E / (Rп' + r) = E / (R/2 + r).

7. Мощность на каждой из оставшихся лампочек:  
P2 = I'^2 * Rп'/2 = (E / (R/2 + r))^2 * (R/2) / 2 = (E^2 * R) / (2(R/2 + r))^2.

8. По условию задачи мощность увеличилась в 25/16 раз:  
P2 = (25/16) * P1.  
Подставляем выражения для мощностей:  
(E^2 * R) / (2(R/2 + r))^2 = (25/16) * (E^2 * R) / (3(R/3 + r))^2.

9. Уберем E^2 * R из уравнения (при условии, что они не равны 0):  
1 / (2(R/2 + r))^2 = (25/16) / (3(R/3 + r))^2.

10. Упростим:  
16 / (2(R/2 + r))^2 = 25 / (3(R/3 + r))^2.  
16 * 9(R/3 + r)^2 = 25 * 4(R/2 + r)^2.

11. Раскроем скобки:  
144(R/3 + r)^2 = 100(R/2 + r)^2.

12. Упростим уравнение:  
144(R^2/9 + 2Rr/3 + r^2) = 100(R^2/4 + Rr + r^2).

13. Переносим все в одну сторону:  
144R^2/9 - 100R^2/4 + (96Rr/3 - 100Rr) + (144r^2 - 100r^2) = 0.

14. Приведем подобные члены. Для этого найдем общий знаменатель: 36.  
(144R^2 * 4 - 100R^2 * 9) / 36 + (192Rr - 100Rr) + (144r^2 - 100r^2) = 0.  
(576R^2 - 900R^2 + 192Rr - 100Rr + 144r^2 - 100r^2) = 0.

15. Упрощаем уравнение:  
(-324R^2 + 92Rr + 44r^2) = 0.

16. Теперь найдем соотношение R/r. Решим уравнение:  
324R^2 = 92Rr + 44r^2.  
R^2 = (92Rr + 44r^2) / 324.

17. Разделим обе стороны на r^2:  
(R/r)^2 = (92(R/r) + 44) / 324.

18. Обозначим x = R/r, тогда:  
x^2 = (92x + 44) / 324.  
324x^2 = 92x + 44.  
324x^2 - 92x - 44 = 0.

19. Используем формулу дискриминанта:  
D = b^2 - 4ac = (-92)^2 - 4 * 324 * (-44) = 8464 + 57024 = 65488.

20. Найдем корни уравнения:  
x = (92 ± sqrt(65488)) / (2 * 324).  
Примерно, sqrt(65488) ≈ 256.

21. Подставляем значение:  
x = (92 ± 256) / 648.  
x1 = (348) / 648 = 0.537;  
x2 = (-164) / 648 = -0.253 (не может быть, так как сопротивление положительное).

Таким образом, R/r ≈ 0.537.

Ответ:  
Сопротивление одной лампочки в 0.537 раз больше внутреннего сопротивления батареи.
от