Дано:
- Радиус Земли R_земли = 6400 км = 6400000 м
- Масса Земли M_земли
- Масса Луны M_луны = M_земли / 81
- Период колебания на Луне T_луна = 2,46 * T_земля
Найти: радиус Луны R_луна.
Решение:
1. Период колебаний математического маятника на поверхности Земли определяется формулой:
T_земля = 2 * pi * sqrt(L / g_земли),
где g_земли = G * M_земли / R_земли^2.
Здесь G - универсальная гравитационная постоянная.
2. Для Луны период колебаний будет равен:
T_луна = 2 * pi * sqrt(L / g_луна),
где g_луна = G * M_луна / R_луна^2.
3. Подставим M_луна в формулу для ускорения свободного падения на Луне:
g_луна = G * (M_земли / 81) / R_луна^2.
4. Теперь подставим g_земли и g_луна в формулы для периодов:
T_луна = 2 * pi * sqrt(L / (G * (M_земли / R_земли^2))),
T_земля = 2 * pi * sqrt(L / (G * (M_земли / R_луна^2 / 81))).
5. Учитывая, что T_луна = 2,46 * T_земля, у нас получится:
2 * pi * sqrt(L / (G * (M_земли / (R_луна^2 / 81)))) = 2,46 * (2 * pi * sqrt(L / (G * (M_земли / R_земли^2)))).
6. Сократим 2 * pi и L:
sqrt(81 / R_луна^2) = 2,46 * sqrt(1 / R_земли^2).
7. Упростим:
sqrt(81) / R_луна = 2,46 / R_земли.
8. Возведем в квадрат обе стороны:
81 / R_луна^2 = (2,46^2) / R_земли^2.
9. Подставим R_земли = 6400000 м:
81 / R_луна^2 = (2,46^2) / (6400000^2).
10. Выразим R_луна^2:
R_луна^2 = (81 * 6400000^2) / (2,46^2).
11. Теперь вычислим 2,46^2:
2,46^2 = 6,0516.
12. Подставим это значение в уравнение:
R_луна^2 = (81 * 6400000^2) / 6,0516.
13. Посчитаем R_луна^2:
R_луна^2 = 81 * 6400000^2 / 6,0516.
14. Вычисляем:
6400000^2 = 40960000000000.
15. Подставим это значение:
R_луна^2 = 81 * 40960000000000 / 6,0516.
16. Рассчитаем R_луна^2:
R_луна^2 = 3317760000000000 / 6,0516.
17. Теперь вычислим:
R_луна^2 ≈ 548187719400000.
18. Найдем R_луна, извлекая квадратный корень:
R_луна ≈ sqrt(548187719400000) ≈ 740000 м.
19. Переведем в километры:
R_луна ≈ 740 км.
Ответ:
Радиус Луны составляет примерно 740 км.