Дано:
Масса шара М = 110 г = 0,11 кг
Масса пули m = 10 г = 0,01 кг
Скорость пули v0 = 50 м/с
Жесткость пружины k = 10 Н/м
Найти:
Амплитуду колебаний A и период колебаний T.
Решение:
1. Применим закон сохранения импульса. При ударе пули о шар, они движутся как одно целое. Начальный импульс равен:
p_initial = m * v0 = 0,01 * 50 = 0,5 кг*м/с.
2. После удара шар с пулей будут двигаться с общей скоростью V. Общая масса после удара:
M_total = M + m = 0,11 + 0,01 = 0,12 кг.
3. Запишем закон сохранения импульса:
m * v0 = M_total * V.
Подставим известные значения:
0,5 = 0,12 * V.
4. Найдем скорость V:
V = 0,5 / 0,12 = 4,1667 м/с.
5. Теперь находим максимальную амплитуду колебаний A. После удара вся кинетическая энергия системы переходит в потенциальную энергию пружины. Кинетическая энергия до удара:
E_kin = (1/2) * M_total * V^2 = (1/2) * 0,12 * (4,1667)^2.
6. Посчитаем E_kin:
E_kin = 0,06 * 17,3611 ≈ 1,0417 Дж.
7. Потенциальная энергия пружины в максимальной точке сжатия (или растяжения):
E_pot = (1/2) * k * A^2.
8. Приравняем кинетическую и потенциальную энергии:
E_kin = E_pot.
1,0417 = (1/2) * 10 * A^2.
9. Упростим уравнение и решим его для A:
1,0417 = 5 * A^2.
A^2 = 1,0417 / 5 ≈ 0,20834.
A = sqrt(0,20834) ≈ 0,456 м = 45,6 см.
10. Теперь найдем период колебаний T. Период колебаний для пружинного осциллятора определяется по формуле:
T = 2 * π * sqrt(M_total / k).
11. Подставим значения:
T = 2 * π * sqrt(0,12 / 10).
12. Посчитаем:
T = 2 * 3,14 * sqrt(0,012) ≈ 6,28 * 0,1095 ≈ 0,688 с.
Ответ:
Амплитуда колебаний A составляет приблизительно 0,456 м (45,6 см), а период колебаний T составляет приблизительно 0,688 секунды.