Дано:
- Емкость конденсатора C = 1 нФ = 1 * 10^(-9) Ф
- Максимальная энергия конденсатора Wmax = 0,1 мкДж = 0,1 * 10^(-6) Дж
- Время колебаний t = 1 мкс = 1 * 10^(-6) с
Найти:
- Амплитуда колебаний тока Imax в контуре
Решение:
1. Энергия конденсатора выражается через емкость и максимальное напряжение на конденсаторе следующим образом:
Wmax = (1/2) * C * Umax^2
2. Из этого уравнения можем выразить максимальное напряжение Umax:
Umax^2 = (2 * Wmax) / C
Umax = sqrt((2 * Wmax) / C)
3. Подставим известные значения:
Umax = sqrt((2 * 0,1 * 10^(-6)) / (1 * 10^(-9)))
Umax = sqrt((0,2 * 10^(-6)) / (1 * 10^(-9)))
Umax = sqrt(0,2 * 10^3)
Umax = sqrt(200)
Umax ≈ 14,14 В
4. Теперь найдем максимальный ток в контуре. Максимальный ток можно выразить через максимальное напряжение и индуктивность:
Imax = Umax / R
Однако, так как у нас нет сопротивления R, можно воспользоваться тем, что максимальная энергия также равна энергии в катушке:
Wmax = (1/2) * L * Imax^2
Где L - индуктивность.
5. Мы знаем, что в идеальном колебательном контуре энергия конденсатора и катушки периодически меняются, и в любой момент времени полная энергия остается постоянной. Следовательно:
Wmax = (1/2) * C * Umax^2 = (1/2) * L * Imax^2
6. Из этого уравнения можно выразить Imax:
Imax^2 = (2 * Wmax) / L
Но L можно найти из Umax и Imax, подставив в это уравнение:
7. Объединив оба выражения:
(2 * Wmax) / (Umax^2 / (C)) = Imax^2
Imax^2 = (2 * Wmax * C) / (Umax^2)
8. У нас есть выражение для Wmax, C и Umax. Подставим все известные значения:
Imax^2 = (2 * (0,1 * 10^(-6)) * (1 * 10^(-9))) / (14,14^2)
Imax^2 = (2 * 0,1 * 10^(-15)) / (200)
Imax^2 = (0,2 * 10^(-15)) / (200)
Imax^2 = 0,1 * 10^(-17)
Imax = sqrt(0,1 * 10^(-17))
Imax ≈ 1 * 10^(-9) А = 1 нА
Ответ:
Амплитуда колебаний тока в контуре составляет примерно 1 нА.