дано: 10 одноклассников, каждый из которых выяснил, что его ответ совпал как минимум с четырьмя другими.
найти: Можно ли утверждать, что все одноклассники дали одинаковый ответ?
решение:
1. Обозначим количество различных ответов среди одноклассников как k.
2. Каждый из 10 одноклассников имеет по меньшей мере 4 совпадающих ответа. Это значит, что у каждого есть ещё 5 человек, чьи ответы могут отличаться от его собственного.
3. Если у нас k разных ответов, то каждый ответ может быть представлен в виде группы, содержащей одноклассников, чьи ответы совпадают.
4. Рассмотрим наихудший случай — максимальное количество различных ответов при условии, что каждый одноклассник совпадает с четырьмя другими, но не способен совпадать с остальными.
5. Пусть каждый из k ответов совпадает с 4 другими, тогда общее количество «совпадений» можно выразить следующим образом:
Каждый из 10 одноклассников: 10 (человек) x 4 (совпадения) = 40 совпадений.
6. При этом, если k > 2, то количество необходимых совпадений для поддержания условия увеличивается. Наиболее оптимально распределить так, чтобы минимизировать количество уникальных ответов, но даже при k = 3 (всего 3 различных ответа), сумма совместных совпадений останется ниже необходимого количества.
7. Следовательно, если бы существовало более 2 различных ответа, то необходимо было бы иметь более 40 совпадений, что невозможно, так как всего 10 студентов.
ответ: Да, можно быть уверенным, что все они дали одинаковый ответ.